Esboce o gráfico das seguintes equações.
2 x^2-x y-y^2-7 x-2 y+3=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da cônica de segunda ordem
2x^2-x y - y^2 - 7x - 2y + 3 = 0
que é um exercício de Classificação e esboço de cônicas.

Passo 2

Identificamos os coeficientes na forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0:
A=2, B=-1, C=-1, D=-7, E=-2, F=3.
Em seguida calculamos o discriminante
De<a = B^2 - 4AC = (-1)^2 - 4cdot2cdot(-1) = 1 + 8 = 9 > 0
Como De<a>0, trata-se de uma hipérbole.

Passo 3

Porém, percebemos que o polinômio é homogêneo em grau 2 mais termos lineares e constante, e às vezes essa hipérbole pode ser degenerada (duas retas). Vamos tentar fatorar. Para facilitar, multiplicamos a equação por -1:
-l(2x^2 - xy - y^2 - 7x - 2y + 3r) = -2x^2 + xy + y^2 + 7x + 2y - 3 = 0
Procuramos fatorar como
(y - x + a)(y + 2x + b) = 0

Passo 4

Expandindo e igualando coeficientes temos:
(y - x + a)(y + 2x + b) = -2x^2 + xy + y^2 + (2a - b)x + (a + b)y + ab
Comparando com
-2x^2 + xy + y^2 + 7x + 2y - 3,
vemos que
a + b = 2, 2a - b = 7, ab = -3

Passo 5

Resolvendo o sistema para a e b:
Da soma a+b=2 e 2a-b=7 obtemos a=3 e b=-1, que satisfaz ab=-3. Assim a fatoração é
-2x^2 + xy + y^2 + 7x + 2y - 3 = (y - x + 3)(y + 2x - 1)
Voltando ao sinal original, a equação inicial se torna
(y - x + 3)(y + 2x - 1) = 0

Passo 6

Portanto o gráfico é a união de duas retas:
y - x + 3 = 0 y + 2x - 1 = 0
Ou seja, as linhas
y = x - 3 e
y = -2x + 1 .

Resposta

O gráfico é a união das retas y = x - 3 e y = -2x + 1.

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