Escreva a equação da hipérbole com as características dadas:
focos
e
e o eixo transverso mede 4
focos
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujos focos são
e
e cujo eixo transverso tem comprimento 4. O conteúdo aqui é Seção Cônica (hipérbole), e vamos precisar usar a definição de hipérbole com eixo horizontal: o centro, a distância focal
, a semi-distância do eixo transverso
e a relação
.
Passo 2
Encontrar o centro
da hipérbole. Como os focos têm mesma ordenada
, o centro fica no ponto médio:
O ponto médio entre e
é
[ ( (1 + (-11)) / 2 , (2 + 2) / 2 ) ]
Portanto, .
O ponto médio entre
[ ( (1 + (-11)) / 2 , (2 + 2) / 2 ) ]
Portanto,
Passo 3
Determinar
. O eixo transverso mede
, logo
[ a = 2 ]
[ a = 2 ]
Passo 4
Determinar
. A distância entre focos é
; aqui é a distância entre
e
, que vale 12, então
[ c = 6 ]
[ c = 6 ]
Passo 5
Calcular
usando a relação
. Substituindo
e
:
[ b^2 = c^2 - a^2 = 36 - 4 = 32 ]
[ b^2 = c^2 - a^2 = 36 - 4 = 32 ]
Passo 6
Como o eixo principal é horizontal, a forma padrão da hipérbole é
[ \frac{(x - h)2}{a2} - \frac{(y - k)2}{b2} = 1 ]
Basta agora substituir ,
,
e
.
[ \frac{(x - h)2}{a2} - \frac{(y - k)2}{b2} = 1 ]
Basta agora substituir