Escreva a equação da hipérbole com as características dadas:
focos (1,2) e (-11,2) e o eixo transverso mede 4

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujos focos são (1,2) e (-11,2) e cujo eixo transverso tem comprimento 4. O conteúdo aqui é Seção Cônica (hipérbole), e vamos precisar usar a definição de hipérbole com eixo horizontal: o centro, a distância focal 2c, a semi-distância do eixo transverso a e a relação c^2 = a^2 + b^2.

Passo 2

Encontrar o centro (h,k) da hipérbole. Como os focos têm mesma ordenada y=2, o centro fica no ponto médio:
O ponto médio entre (1,2) e (-11,2) é
[ ( (1 + (-11)) / 2 , (2 + 2) / 2 ) ]
Portanto, (h,k)=(-5,2).

Passo 3

Determinar a. O eixo transverso mede 2a=4, logo
[ a = 2 ]

Passo 4

Determinar c. A distância entre focos é 2c; aqui é a distância entre (-11,2) e (1,2), que vale 12, então
[ c = 6 ]

Passo 5

Calcular b usando a relação c^2 = a^2 + b^2. Substituindo c=6 e a=2:
[ b^2 = c^2 - a^2 = 36 - 4 = 32 ]

Passo 6

Como o eixo principal é horizontal, a forma padrão da hipérbole é
[ \frac{(x - h)2}{a2} - \frac{(y - k)2}{b2} = 1 ]
Basta agora substituir h=-5, k=2, a^2=4 e b^2=32.

Resposta

(x+5)^24 - (y-2)^232 = 1

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