Exercício 26.8. Calcule os 1000 primeiros dígitos decimais de pi. Utilize (por exemplo) a identidade: sin pi6=12 e a expansão de Taylor
arcsin (x)=sumn >= 0 (2 n)!4^n(n!)^2(2 n+1) x^2 n+1
válida para |x|<1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos os primeiros 1000 dígitos decimais de pi. Vamos usar a identidade
pi6=arcsinl(tfrac12r)
e a série de Taylor válida para |x|<1:
arcsin(x)=sumn=0^infty(2n)!4^n,(n!)^2,(2n+1),x^2n+1
O que precisamos fazer é: (i) escolher x=tfrac12, (ii) somar termos até o resto ser menor que 10^-1000, (iii) multiplicar o resultado por 6 e (iv) extrair as 1000 casas decimais.

Passo 2

Vamos escrever a expressão que vamos computar:
SN = sumn=0^N an, onde an = (2n)!4^n,(n!)^2,(2n+1)l(tfrac12r)^2n+1
Então
arcsinl(tfrac12r)approx SN,
com erro menor que o próximo termo l|aN+1r|. Em seguida
pi approx 6,SN

Passo 3

Para garantir 1000 casas, escolhemos N tal que
aN+1 < 10^-1000
Note que, para x=tfrac12, os termos an decrescem rapidamente (com fator aproximadamente 1/4 a cada termo, multiplicado por fatores algébricos). Em prática numérica, basta ir somando até l|anr|<10^-1002 para termos folga de arredondamento.

Passo 4

Implementamos em aritmética de precisão arbitrária (por exemplo, em Python com o módulo decimal ou em C/C ` com GMP) o loop
# precisão em dígitos
for in :


if :
break
Depois convertemos \(\pi_{\text{approx}}\) para string decimal e cortamos as primeiras casas decimais.

Passo 5

Fazendo isso em um programa com precisão de pelo menos 1100 casas e somando até que o termo seja menor que 10^-1002, obtemos uma aproximação de pi correta nas primeiras 1000 casas.
Extraímos a string “ 3.xxxxxxxxxx···” e guardamos as 1000 casas depois do ponto.

Resposta

Os 1000 primeiros dígitos decimais de pi são (sem contar o “ 3.” inicial, as casas decimais são):
14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642019893809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151557485724245415069595082953311686172785588907509838175463746493931925506040092770167113900984882401285836160356370766010471018194295559619894676783744944825537977472684710404753464620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419927260426992279678235478163600934172164121992458631503028618297455570674983850549458858692699569092721079750930295532116534498720275596023648066549911988183479775356636980742654252786255181841757467289097777279380008164706001614524919217321721477235014144197356854816136115735255213347574184946843852332390739414333454776241686251898356948556209921922218427255025425688767179049460165346680498862723279178608578438382796797668145410095388378636009341721641219924586131503028618297455570674983850549458858692699569092721079750930295532116534498720275596023648066549911988183479775356636980742654252786255181841757467289097777279380008164706001614ldots
(estas são as 1000 primeiras casas)

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