Exercício 26.8. Calcule os 1000 primeiros dígitos decimais de . Utilize (por exemplo) a identidade: e a expansão de Taylor
válida para .
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos os primeiros dígitos decimais de . Vamos usar a identidade
e a série de Taylor válida para :
O que precisamos fazer é: (i) escolher , (ii) somar termos até o resto ser menor que , (iii) multiplicar o resultado por e (iv) extrair as casas decimais.
Passo 2
Vamos escrever a expressão que vamos computar:
Então
com erro menor que o próximo termo . Em seguida
pi approx 6,SN
Passo 3
Para garantir 1000 casas, escolhemos N tal que
aN+1 < 10^-1000
Note que, para x=tfrac12, os termos an decrescem rapidamente (com fator aproximadamente 1/4 a cada termo, multiplicado por fatores algébricos). Em prática numérica, basta ir somando até l|anr|<10^-1002 para termos folga de arredondamento.
Passo 4
Implementamos em aritmética de precisão arbitrária (por exemplo, em Python com o módulo decimal ou em C/C` com GMP) o loop
# precisão em dígitos
for in …:
if :
break
Depois convertemos \(\pi_{\text{approx}}\) para string decimal e cortamos as primeiras casas decimais.
Passo 5
Fazendo isso em um programa com precisão de pelo menos 1100 casas e somando até que o termo seja menor que 10^-1002, obtemos uma aproximação de pi correta nas primeiras 1000 casas.
Extraímos a string “3.xxxxxxxxxx···” e guardamos as 1000 casas depois do ponto.
Resposta
Os 1000 primeiros dígitos decimais de pi são (sem contar o “3.” inicial, as casas decimais são):