Exercício 26.5. Se f(x) é um polinômio e D f(x) é a sua derivada em relação a x, qual é a relação entre as transformadas de Fourier de f e de D f ?

Passo 1

O enunciado pede a relação entre a transformada de Fourier de um polinômio f(x) e a transformada da sua derivada Df(x)=f'(x). Vamos usar a definição de transformada de Fourier e a técnica de integração por partes para descobrir essa relação.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier de f como
widehat f(xi)=integral-infty^inftyf(x),e^-i xxi,dx
Então a transformada de Df é
widehatDf(xi) =integral-infty^inftyf'(x),e^-i xxi,dx
Aplicando integração por partes com
u=f'(x), dv=e^-i xxidx,
temos
integral f'(x)e^-i xxidx =f(x)e^-i xxi|-infty^infty - integral f(x)l(-ixi e^-i xxir)dx

Passo 3

Assumindo que o termo de fronteira
f(x)e^-i xxi|-infty^infty
se anula (ou interpretando tudo no sentido de distribuições de Schwartz), resta
widehatDf(xi) = ixi integral-infty^inftyf(x)e^-i xxidx = ixi,widehat f(xi)

Resposta

widehatDf(xi)=i,xi,widehat f(xi).

Exercícios de Livros Relacionados