Exercício 4.31 Seja
um espaço vetorial real, com
. Mostre que o espaço vetorial real
é isomorfo a qualquer subespaço
do espaço vetorial
tal que
, exibindo um isomorfismo
de
em
.
Passo 1
O enunciado diz que em qualquer espaço vetorial real
com
todo subespaço
de dimensão 3 é “igual”, no sentido de isomorfismo, a
. Ou seja, queremos construir um mapa linear bijetivo
Mostraremos isso usando o fato de que dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão finita são isomorfos: basta escolher uma base de
e identificar as coordenadas em
.
Passo 2
Como
, existe uma base
.
Por definição de base, todo vetor escreve-se de modo único como combinação linear
Por definição de base, todo vetor
com
.
Passo 3
Definimos a aplicação
Para ver que
é linear, sejam
e
. Então
Para injetividade, suponha
. Então
e como
é independente, segue
.
Para sobrejetividade, dado existe única tripla
tal que
Para sobrejetividade, dado
Logo
é bijetiva e linear, isto é, um isomorfismo.
Resposta
Uma escolha de isomorfismo é
onde
é qualquer base de
.