Exercício 4.31 Seja V um espaço vetorial real, com dim(V) >= 3. Mostre que o espaço vetorial real R^3 é isomorfo a qualquer subespaço S do espaço vetorial V tal que dim(S)=3, exibindo um isomorfismo T de R^3 em S.

Passo 1

O enunciado diz que em qualquer espaço vetorial real V com dim(V)>=3 todo subespaço Ssubset V de dimensão 3 é “igual”, no sentido de isomorfismo, a R^3. Ou seja, queremos construir um mapa linear bijetivo
Tcolon R^3 to S
Mostraremos isso usando o fato de que dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão finita são isomorfos: basta escolher uma base de S e identificar as coordenadas em R^3.

Passo 2

Como dim(S)=3, existe uma base
v1,v2,v3subset S.
Por definição de base, todo vetor sin S escreve-se de modo único como combinação linear
s = a1,v1 + a2,v2 + a3,v3
com a1,a2,a3inR.

Passo 3

Definimos a aplicação
Tcolon R^3 to S, Tl(x1,x2,x3r) = x1,v1 + x2,v2 + x3,v3
Para ver que T é linear, sejam (xi),(yi)inR^3 e lambdainR. Então
Tl((xi)+(yi)r) = T(x1+y1,x2+y2,x3+y3) = (x1+y1)v1 + (x2+y2)v2 + (x3+y3)v3 = T(xi) + T(yi),
Tl(lambda(xi)r) = T(lambda x1,lambda x2,lambda x3) = lambda x1v1 + lambda x2v2 + lambda x3v3 = lambda,T(xi)
Para injetividade, suponha T(x1,x2,x3)=0. Então
x1v1 + x2v2 + x3v3 = 0
e como v1,v2,v3 é independente, segue x1=x2=x3=0.
Para sobrejetividade, dado sin S existe única tripla (a1,a2,a3) tal que
s = a1v1 + a2v2 + a3v3 = T(a1,a2,a3)
Logo T é bijetiva e linear, isto é, um isomorfismo.

Resposta

Uma escolha de isomorfismo é
Tcolon R^3 to S, T(x1,x2,x3) = x1v1 + x2v2 + x3v3,
onde v1,v2,v3 é qualquer base de S.

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