Exercício 4.26 Mostre que o operador linear T sobre R^3 definido por:
T(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y)
é um isomorfismo de R^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (x - 2y,; z,; x + y)
é um isomorfismo. Isso significa provar que T é invertível (ou seja, bijetiva), o que em espaços de dimensão finita equivale a mostrar que a matriz de T na base canônica tem determinante não nulo.

Passo 2

Vamos escrever T em termos de matriz na base canônica e1,e2,e3. Calculamos
T(e1)=T(1,0,0) = (1,0,1), T(e2)=T(0,1,0) = (-2,0,1), T(e3)=T(0,0,1) = (0,1,0)
Logo, a matriz de T é
M = 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
det(M) = 1cdot0 & 11 & 0 -(-2)cdot0 & 11 & 0 +0cdotl|dotsr| = 1cdot(0-1) + 2cdot(0-1) = -1 -2 = -3
Como det(M) = -3 neq 0, a matriz é invertível.

Passo 4

Em dimensão finita, uma transformação linear é isomorfismo se e somente se sua matriz na base canônica tiver determinante diferente de zero. Como det(M)neq0, concluímos que T é invertível, logo é um isomorfismo de R^3.

Resposta

O determinante da matriz de T é -3neq0, portanto T é um isomorfismo de R^3.

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