Exercício 4.26 Mostre que o operador linear sobre definido por:
é um isomorfismo de .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador linear
é um isomorfismo. Isso significa provar que é invertível (ou seja, bijetiva), o que em espaços de dimensão finita equivale a mostrar que a matriz de na base canônica tem determinante não nulo.
Passo 2
Vamos escrever em termos de matriz na base canônica . Calculamos
Em dimensão finita, uma transformação linear é isomorfismo se e somente se sua matriz na base canônica tiver determinante diferente de zero. Como det(M)neq0, concluímos que T é invertível, logo é um isomorfismo de R^3.
Resposta
O determinante da matriz de T é -3neq0, portanto T é um isomorfismo de R^3.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Petronio Pulino - Álgebra Linear e suas Aplicações - 1ª Edição - Capítulo 4.4.5 - Ex. 4.26