Nos Exercícios de 1 a 9, formule matematicamente cada um dos problemas de programação linear.
Um fundo de pensão está planejando investir até \ 6000 em dois tipos de títulos:íA eB . O títuloíA é mais seguro do que o títuloéíB e paga juros de8 % , enquanto o títuloíB paga juros de10 % . Suponha que as regras do fundo limitam em$4000 o investimento no títuloíB , enquanto pelo menos$ 1500 devem ser investidos no títuloíA$. Quanto deverá ser investido em cada tipo de título para maximizar o rendimento?

Passo 1

O enunciado descreve um fundo de pensão que vai investir até $6000 em dois títulos: A (rendimento de 8\%) e B (rendimento de 10\%). As regras impõem ainda que no máximo $4000 sejam aplicados em B e que pelo menos $1500 sejam aplicados em A. Queremos determinar quanto investir em cada título para maximizar o rendimento anual.

Passo 2

Definimos as variáveis x= valor (em reais) investido em A y= valor (em reais) investido em B O rendimento total é
z = 0,08\,x + 0,10\,y
e o problema de programação linear fica
\max\;z = 0,08x + 0,10y
sujeito a
\begin{cases} x + y \le 6000,\\\ y \le 4000,\\\ x \ge 1500,\\\ x \ge 0,\quad y \ge 0. \end{cases}

Passo 3

Para resolver graficamente, identificamos os vértices da região viável pela interseção das retas:
(1) x=1500 com y=0 (1500,0)
(2) x+y=6000 com y=0 (6000,0)
(3) y=4000 com x+y=6000 (2000,4000)
(4) x=1500 com y=4000 (1500,4000)

Passo 4

Calculamos z=0,08x+0,10y em cada vértice:
\begin{aligned} (1500,0)&:\;z=0,08\cdot1500+0,10\cdot0=120,\\\ (6000,0)&:\;z=0,08\cdot6000+0,10\cdot0=480,\\\ (1500,4000)&:\;z=0,08\cdot1500+0,10\cdot4000=120+400=520,\\\ (2000,4000)&:\;z=0,08\cdot2000+0,10\cdot4000=160+400=560. \end{aligned}

Passo 5

O maior rendimento ocorre em (2000,4000), ou seja, investindo $2000 em A e $4000 em B.

Resposta

Investir \$2000 em A e \$4000 em B.

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