Exprima cada um dos vetores da base canônica de como combinação linear dos vetores e, a partir daí, obtenha a inversa da matriz .
Passo 1
O exercício pede para escrever cada vetor da base canônica de R^3 (isto é, e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)) como combinação linear dos vetores v1=(1,1,0), v2=(-1,0,2) e v3=(4,2,-5). A partir daí, notamos que a matriz M cujas colunas são v1,v2,v3 satisfaz M[alpha,beta,gamma]^T=ei quando [alpha,beta,gamma]^T são as coordenadas de ei na base v1,v2,v3. Então, os vetores-alphabetagamma para i=1,2,3 serão exatamente as colunas de M^-1.
Passo 2
Para expressar [e_1=(1,0,0)) na base , montamos e resolvemos o sistema
Separando por componentes, obtemos o sistema
Da terceira equação surge . Substituindo na primeira:
Logo , e . Assim,
Passo 3
Para [e_2=(0,1,0)), refazemos o sistema com o lado direito :
De novo . Na primeira equação:
Logo , e . Portanto,
Passo 4
Para [e_3=(0,0,1)), tomamos o sistema com à direita:
Da segunda . Na terceira:
Logo , , e
Passo 5
Portanto, as coordenadas de e1,e2,e3 na base v1,v2,v3 são colunas de M^-1.
Resposta
M^-1 = 4 & -3 & 2 -5 & 5 & -2 -2 & 2 & -1
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 9.3