Exprima cada um dos vetores da base canônica de como combinação linear dos vetores e, a partir daí, obtenha a inversa da matriz .
Passo 1
O exercício pede para escrever cada vetor da base canônica de R^3 (isto é, e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)) como combinação linear dos vetores v1=(1,1,0), v2=(-1,0,2) e v3=(4,2,-5). A partir daí, notamos que a matriz M cujas colunas são v1,v2,v3 satisfaz M[alpha,beta,gamma]^T=ei quando [alpha,beta,gamma]^T são as coordenadas de ei na base v1,v2,v3. Então, os vetores-alphabetagamma para i=1,2,3 serão exatamente as colunas de M^-1.
Passo 2
Para expressar e1=(1,0,0) na base v1,v2,v3, montamos e resolvemos o sistema
a,(1,1,0)+b,(-1,0,2)+c,(4,2,-5)=(1,0,0)
Separando por componentes, obtemos o sistema
a - b +4c =1, a +2c =0, 2b -5c =0
Da terceira equação surge b=tfrac52c e da segunda a=-2c. Substituindo na primeira: