Exprima cada um dos vetores da base canônica de R^3 como combinação linear dos vetores v1=(1,1,0), v2=(-1,0,2), v3= (4,2,-5) e, a partir daí, obtenha a inversa da matriz ccc1 & -1 & 4 1 & 0 & 2 0 & -2 & 5.

Passo 1

O exercício pede para escrever cada vetor da base canônica de R^3 (isto é, e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)) como combinação linear dos vetores v1=(1,1,0), v2=(-1,0,2) e v3=(4,2,-5). A partir daí, notamos que a matriz M cujas colunas são v1,v2,v3 satisfaz M[alpha,beta,gamma]^T=ei quando [alpha,beta,gamma]^T são as coordenadas de ei na base v1,v2,v3. Então, os vetores- alphabetagamma para i=1,2,3 serão exatamente as colunas de M^-1.

Passo 2

Para expressar e1=(1,0,0) na base v1,v2,v3, montamos e resolvemos o sistema
a,(1,1,0)+b,(-1,0,2)+c,(4,2,-5)=(1,0,0)
Separando por componentes, obtemos o sistema
a - b +4c =1, a +2c =0, 2b -5c =0
Da terceira equação surge b=tfrac52c e da segunda a=-2c. Substituindo na primeira:
-2c -tfrac52c +4c =1 implies -tfrac12c =1 implies c=-2
Logo c=-2, b=tfrac52(-2)=-5 e a=-2(-2)=4. Assim,
e1 =4,v1 -5,v2 -2,v3

Passo 3

Para e2=(0,1,0), refazemos o sistema com o lado direito (0,1,0):
a - b +4c =0, a +2c =1, 2b -5c =0
De novo b=tfrac52c e a=1-2c. Na primeira equação:
(1-2c)-tfrac52c +4c =0 implies 1 - tfrac12c =0 implies c=2
Logo c=2, b=5 e a=1-4=-3. Portanto,
e2 = -3,v1 +5,v2 +2,v3

Passo 4

Para e3=(0,0,1), tomamos o sistema com (0,0,1) à direita:
a - b +4c =0, a +2c =0, 2b -5c =1
Da segunda a=-2c, da primeira b=2c. Na terceira:
2(2c)-5c =1 implies -c=1 implies c=-1
Logo c=-1, b=-2, a=2 e
e3 = 2,v1 -2,v2 -1,v3

Passo 5

Portanto, as coordenadas de e1,e2,e3 na base v1,v2,v3 são colunas de M^-1.

Resposta

M^-1 = 4 & -3 & 2 -5 & 5 & -2 -2 & 2 & -1

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