Gere matrizes aleatórias 5 \times 5 com elementos inteiros digitando
A=\operatorname{round}(10 * \operatorname{rand}(5)) \text { and } B=\operatorname{round}(20 *(\operatorname{rand}(5)-0.5))
Use o MATLAB para calcular cada um dos pares de números a seguir. Em cada caso, verifique se o primeiro é igual ou não ao segundo.
\operatorname{det}(A B) \quad \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)

Passo 1

O enunciado nos pede para usar o MATLAB a fim de gerar duas matrizes aleatórias 5\times5 com elementos inteiros, definidas por
A = \operatorname{round}\bigl(10\,\operatorname{rand}(5)\bigr) \quad\text{e}\quad B = \operatorname{round}\bigl(20\,(\operatorname{rand}(5)-0.5)\bigr),
e então calcular os pares de números
\det(AB) e \det(A)\,\det(B)
para verificar se vale a relação clássica
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).
Os conteúdos principais são a propriedade multiplicativa do determinante e a verificação numérica dessa propriedade em ponto flutuante.

Passo 2

No MATLAB, geramos as matrizes e calculamos as determinações. Um exemplo de código é:
A \(=\) round(\(10\)*rand(\(5\)));
B \(=\) round(\(20\)*(rand(\(5\))-\(0.5\)));
d\(1=\) det(A*B);
d\(2=\) det(A)*det(B);
[d\(1\), d\(2\), d\(1\) - d\(2\)]
Aqui d\(1\) armazena \det(AB), d\(2\) armazena \det(A)\,\det(B) e d\(1\)-d\(2\) mostra a diferença.

Passo 3

Ao executar esse script várias vezes, obtém-se resultados como (os números variam a cada execução):
d\(1=\) -\(2384.8740\)
d\(2=\) -\(2384.8740\)
d\(1\)-d\(2=\)  -\(2.2204\)e-\(13\)
Note que d\(1\) e d\(2\) coincidem até pequenos resíduos da ordem de 10^{-13}, vindos de erros numéricos de ponto flutuante.

Passo 4

Em álgebra linear exata, vale sempre
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).
No MATLAB, confirmamos numericamente essa propriedade: os valores de \det(AB) e de \det(A)\,\det(B) são iguais até tolerâncias computacionais (diferenças muito próximas de zero).

Resposta

Em cada execução no MATLAB, verifica-se que
\det(AB)\approx \det(A)\,\det(B),
confirmando a propriedade multiplicativa do determinante dentro da precisão numérica.

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