A B C D E F é um hexágono regular. Se \overrightarrow{A B}=\vec{a} e \overrightarrow{B C}=\vec{b}, mostre que \overrightarrow{A E}=2 \vec{b}-\vec{a} e \overrightarrow{A F}=\vec{b}-\vec{a}.

Passo 1

O enunciado diz que A B C D E F é um hexágono regular e que
\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{B C}=\vec{b}.
Queremos encontrar \overrightarrow{A E} e \overrightarrow{A F}.
Para isso vamos somar vetores ao longo dos lados do hexágono e usar a propriedade de que cada lado é uma rotação de 60^\circ do anterior.

Passo 2

Em um hexágono regular cada lado “gira” 60^\circ em relação ao anterior, de modo que, expressos em \vec{a} e \vec{b}, temos
\overrightarrow{C D}=R_{60^\circ}(\vec{b})=\vec{b}-\vec{a},\quad \overrightarrow{D E}=-\vec{a},\quad \overrightarrow{E F}=-\vec{b},\quad \overrightarrow{F A}=\vec{a}-\vec{b}.

Passo 3

Para \overrightarrow{A E} somamos os vetores dos lados A\to B\to C\to D\to E:
\overrightarrow{A E} =\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E} =\vec{a}+\vec{b}+(\vec{b}-\vec{a})+(-\vec{a}) =2\vec{b}-\vec{a}.

Passo 4

Para \overrightarrow{A F} podemos usar
\overrightarrow{A F} =\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E F} =(2\vec{b}-\vec{a})+(-\vec{b}) =\vec{b}-\vec{a}.

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{A E}=2\vec{b}-\vec{a}
\displaystyle \overrightarrow{A F}=\vec{b}-\vec{a}

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