26 A iluminação de uma fonte luminosa é diretamente proporcional à intensidade da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância da fonte. Se duas fontes luminosas S_{1} e S_{2} distam uma da outra d unidades, em que ponto do segmento retilíneo que une as duas fontes a iluminaçāo é mínima?

Passo 1

O enunciado trata de duas fontes luminosas S_{1} e S_{2}, separadas por uma distância d. A lei diz que a iluminação \mathcal{E} de cada fonte é diretamente proporcional à sua intensidade e inversamente proporcional ao quadrado da distância até o ponto de observação. Queremos achar, num ponto P do segmento que une S_{1} e S_{2}, a posição em que a soma das iluminações é mínima. Para isso vamos:
  1. Modelar \mathcal{E}(x), a iluminação total em função da distância x de P a S_{1}.
  2. Diferenciar \mathcal{E}(x) e igualar a zero para achar o extremo.
  3. Confirmar que é mínimo e expressar x em termos de d e das intensidades I_{1},I_{2}.

Passo 2

Seja x a distância de P até S_{1}. Então a distância de P até S_{2} é d-x. Se as intensidades de S_{1} e S_{2} são I_{1} e I_{2}, desprezando a constante de proporcionalidade, a iluminação total em P é
\mathcal{E}(x)=\frac{I_{1}}{x^{2}}+\frac{I_{2}}{(d-x)^{2}}\,,\quad 0<x<d.

Passo 3

Para encontrar o mínimo, calculamos \mathcal{E}'(x) e igualamos a zero:
\mathcal{E}'(x) =-2\,\frac{I_{1}}{x^{3}} +2\,\frac{I_{2}}{(d-x)^{3}} \;\overset{!}{=}\;0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{I_{1}}{x^{3}}=\frac{I_{2}}{(d-x)^{3}}.
Isto implica
\frac{d-x}{x} =\sqrt[3]{\frac{I_{2}}{I_{1}}}\,.

Passo 4

Da relação anterior segue
d-x =x\;\sqrt[3]{\frac{I_{2}}{I_{1}}} \quad\Longrightarrow\quad x\Bigl(1+\sqrt[3]{\tfrac{I_{2}}{I_{1}}}\Bigr)=d \quad\Longrightarrow\quad x =\frac{d}{1+\sqrt[3]{\tfrac{I_{2}}{I_{1}}}}.
Pode-se verificar também que \mathcal{E}''(x)>0 no intervalo (0,d), confirmando que esse ponto é um mínimo estrito.

Resposta

A iluminação total é mínima no ponto P que está a
x=\frac{d}{1+\sqrt[3]{\tfrac{I_{2}}{I_{1}}}}
unidades de S_{1} (e, portanto, a d-x=\tfrac{d}{1+\sqrt[3]{I_{1}/I_{2}}} de S_{2}).
Em particular, se I_{1}=I_{2}, então x=d/2, ou seja, o meio do segmento.

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