26 A iluminação de uma fonte luminosa é diretamente proporcional à intensidade da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância da fonte. Se duas fontes luminosas
e
distam uma da outra
unidades, em que ponto do segmento retilíneo que une as duas fontes a iluminaçāo é mínima?
Passo 1
O enunciado trata de duas fontes luminosas
e
, separadas por uma distância
. A lei diz que a iluminação
de cada fonte é diretamente proporcional à sua intensidade e inversamente proporcional ao quadrado da distância até o ponto de observação. Queremos achar, num ponto
do segmento que une
e
, a posição em que a soma das iluminações é mínima. Para isso vamos:
- Modelar
, a iluminação total em função da distância de a . - Diferenciar
e igualar a zero para achar o extremo. - Confirmar que é mínimo e expressar
em termos de e das intensidades .
Passo 2
Seja
a distância de
até
. Então a distância de
até
é
. Se as intensidades de
e
são
e
, desprezando a constante de proporcionalidade, a iluminação total em
é
Passo 3
Para encontrar o mínimo, calculamos
e igualamos a zero:
Isto implica
Passo 4
Da relação anterior segue
Pode-se verificar também que
no intervalo
, confirmando que esse ponto é um mínimo estrito.
Resposta
A iluminação total é mínima no ponto
que está a
unidades de
(e, portanto, a
de
).
Em particular, se , então
, ou seja, o meio do segmento.
Em particular, se