15 Um hotel que cobra $ 80 a diária, dá descontos especiais a grupos que reservem entre 30 e 60 quartos. Se são reservados mais de 30 , o preço de cada quarto é reduzido de uma quantia igual a uma vez o número de quartos reservados. Nessas condições, quantos quartos devem ser reservados para que a receita diária seja máxima?

Passo 1

O enunciado informa que o hotel cobra R$ 80 por quarto e concede um desconto especial a grupos que reservem entre 30 e 60 quartos. Para x>30 quartos, o desconto por quarto é igual ao número de quartos reservados. A tarefa é determinar o valor de x que maximiza a receita diária. O conteúdo envolve modelar a receita como função quadrática e encontrar seu vértice.

Passo 2

Seja x o número de quartos reservados, com 30<x\le60. Como o desconto por quarto é igual a x reais, o preço unitário fica
p(x)=80 - x.

Passo 3

A receita diária R(x) é o produto do número de quartos pelo preço unitário:
R(x)=x\,p(x)=x(80-x)=80x - x^2.
Essa é uma parábola côncava para baixo (coeficiente de x^2 negativo).

Passo 4

O máximo de uma parábola ax^2+bx+c ocorre em
x=-\frac{b}{2a}.
Aqui a=-1 e b=80, logo
x=-\frac{80}{2\cdot(-1)}=40.
Como 40 está no intervalo (30,60], é o número de quartos que maximiza a receita.

Resposta

Devem ser reservados 40 quartos para que a receita diária seja máxima.

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