2 O isótopo de polônio { }^{210} Po tem uma meia-vida de aproximadamente 140 dias. Se uma amostra pesa 20 miligramas inicialmente, quanto restará após t dias? Quando restará, aproximadamente, após duas semanas?

Passo 1

O enunciado diz que o isótopo {}^{210}\mathrm{Po} tem meia-vida de 140 dias e que inicialmente temos 20 mg. Precisamos usar o modelo de decaimento radioativo, que é uma decadência exponencial, para achar (1) a expressão da massa restante \,M(t) após t dias e (2) o valor aproximado para t=14 dias (duas semanas).

Passo 2

Em decadência exponencial, a massa obedece
M(t)=M_0\,e^{-\lambda t},
onde \lambda é a constante de decaimento. Como a meia-vida T_{1/2} satisfaz
M(T_{1/2})=M_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}=\frac{M_0}{2},
temos
e^{-\lambda T_{1/2}}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad -\lambda\,T_{1/2}=\ln\frac12=-\ln2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}}=\frac{\ln2}{140}.

Passo 3

Substituindo \lambda e M_0=20 mg, obtemos a fórmula geral
M(t) =20\,e^{-\frac{\ln2}{140}\,t} =20\bigl(\tfrac12\bigr)^{\frac{t}{140}}.

Passo 4

Para t=14 dias,
M(14) =20\bigl(\tfrac12\bigr)^{\frac{14}{140}} =20\bigl(\tfrac12\bigr)^{0,1} \approx20\cdot e^{-0,1\ln2} \approx20\cdot0,93307 \approx18,66\text{ mg}.

Resposta

A massa após t dias é
M(t)=20\bigl(\tfrac12\bigr)^{\frac{t}{140}}\text{ mg},
e após duas semanas t=14 resta aproximadamente
M(14)\approx18,7\text{ mg}.

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