Para um dos itens a seguir, encontre a matriz que corresponde à mudança da base \left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right] para a base \left[\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right].
\mathbf{u}_{1}=(1,2)^{T}, \quad \mathbf{u}_{2}=(2,5)^{T}

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base que leva as coordenadas de um vetor na base \bigl[\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\bigr] para as coordenadas na base canônica \bigl[\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\bigr]. O conteúdo aqui é a construção da matriz de mudança de base em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Sabemos que, se \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2 formam a base inicial, então a matriz de mudança de base P de \bigl[\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\bigr] para \bigl[\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\bigr] satisfaz
[v]_{\text{can}} \;=\; P\,[v]_{\mathbf{u}},
e suas colunas são justamente as coordenadas de \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2 na base canônica.

Passo 3

Como \mathbf{u}_1=(1,2)^T e \mathbf{u}_2=(2,5)^T já estão expressos em coordenadas canônicas, montamos
P \;=\;\begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & 5 \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz de mudança de base de \bigl[\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\bigr] para a base canônica é
\begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & 5 \end{pmatrix}.

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