Seja S o subespaço de R^{2} gerado por \mathbf{e}_{1} e seja T o subespaço de R^{2} gerado por \mathbf{e}_{2} . S \cup T é um subespaço de R^{2} ? Explique.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de \mathbb R^2:
S = \mathrm{span}\{\mathbf e_1\},\quad T = \mathrm{span}\{\mathbf e_2\}.
Pergunta-se se a união S\cup T é subespaço de \mathbb R^2. Para isso, vamos usar o critério de subespaço, em particular a fechadura sob soma.

Passo 2

Note que, em geral, a união de dois subespaços U\cup V só é subespaço quando U\subseteq V ou V\subseteq U. Podemos também testar diretamente a fechadura sob soma: se existir \mathbf u\in S e \mathbf v\in T tais que \mathbf u+\mathbf v\notin S\cup T, então S\cup T não é subespaço.

Passo 3

Tomemos
\mathbf u = (1,0)\in S \quad\text{e}\quad \mathbf v = (0,1)\in T.
Então
\mathbf u + \mathbf v = (1,1).
Esse vetor não pertence nem a S (eixo x) nem a T (eixo y), logo
\mathbf u + \mathbf v \notin S\cup T.
Portanto, S\cup T falha na condição de fechadura sob soma.

Resposta

Não. A união S\cup T não é subespaço de \mathbb R^2, pois não é fechada sob adição (por exemplo, (1,0)+(0,1)=(1,1)\notin S\cup T).

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