Seja
o subespaço de
gerado por
e seja
o subespaço de
gerado por
é um subespaço de
? Explique.
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
Pergunta-se se a união
é subespaço de
. Para isso, vamos usar o critério de subespaço, em particular a fechadura sob soma.
Passo 2
Note que, em geral, a união de dois subespaços
só é subespaço quando
ou
. Podemos também testar diretamente a fechadura sob soma: se existir
e
tais que
, então
não é subespaço.
Passo 3
Tomemos
Então
Esse vetor não pertence nem a
(eixo
) nem a
(eixo
), logo
Portanto,
falha na condição de fechadura sob soma.
Resposta
Não. A união
não é subespaço de
, pois não é fechada sob adição (por exemplo,
).