Se
A=\left(\begin{array}{ll} 3 & 4 \\\\ 1 & 1 \\\\ 2 & 7 \end{array}\right)
verifique que:
(b) 6 A=3(2 A)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 4 \\\\ 1 & 1 \\\\ 2 & 7\end{pmatrix}
e pede para verificar que
6A = 3\bigl(2A\bigr).
O que precisamos usar aqui é a associatividade da multiplicação escalar em matrizes, ou seja, (\alpha\beta)A = \alpha(\beta A).

Passo 2

Vamos calcular 6A multiplicando cada entrada de A por 6:
6A = 6 \cdot \begin{pmatrix}3 & 4 \\\\ 1 & 1 \\\\ 2 & 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\cdot3 & 6\cdot4 \\\\ 6\cdot1 & 6\cdot1 \\\\ 6\cdot2 & 6\cdot7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 24 \\\\ 6 & 6 \\\\ 12 & 42 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos 2A multiplicando cada entrada de A por 2:
2A = 2 \cdot \begin{pmatrix}3 & 4 \\\\ 1 & 1 \\\\ 2 & 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot3 & 2\cdot4 \\\\ 2\cdot1 & 2\cdot1 \\\\ 2\cdot2 & 2\cdot7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\\\ 2 & 2 \\\\ 4 & 14 \end{pmatrix}.

Passo 4

Em seguida, calculamos 3(2A) multiplicando cada entrada de 2A por 3:
3(2A) = 3 \cdot \begin{pmatrix} 6 & 8 \\\\ 2 & 2 \\\\ 4 & 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot6 & 3\cdot8 \\\\ 3\cdot2 & 3\cdot2 \\\\ 3\cdot4 & 3\cdot14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 24 \\\\ 6 & 6 \\\\ 12 & 42 \end{pmatrix}.

Passo 5

Comparando os resultados de 6A e de 3(2A), vemos que ambos são
\begin{pmatrix} 18 & 24 \\\\ 6 & 6 \\\\ 12 & 42 \end{pmatrix},
portanto estão iguais. Isso confirma a propriedade associativa da multiplicação escalar.

Resposta

Logo, 6A = 3(2A).

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