Use o método de Gauss-Jordan para resolver cada um dos sistemas a seguir.
x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+x_{4}=3
2 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=8
3 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via método de Gauss–Jordan, o sistema
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}+x_{3}+x_{4}=3,\\\\ 2x_{1}-2x_{2}+x_{3}+2x_{4}=8,\\\\ 3x_{1}+x_{2}+2x_{3}-x_{4}=-1. \end{cases}
O conteúdo aqui é redução de matrizes aumentadas até a forma reduzida por linhas (RREF) e identificação de variáveis livres.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada correspondente:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\\\ 2 & -2 & 1 & 2 & 8\\\\ 3 & 1 & 2 & -1 & -1 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos a coluna da variável x_{1} abaixo da primeira linha, usando
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}.
Isso produz
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & -8 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & -8 & -1 & -4 & -10 \end{array}\right].

Passo 4

Vamos obter pivô em (2,2). Primeiro normalizamos a segunda linha:
R_{2}\leftarrow -\tfrac{1}{8}R_{2}\;\Longrightarrow\; R_{2}=[\,0\;\;1\;\;1/8\;\;0\mid -1/4\,].
Em seguida anulamos os coeficientes em x_{2} nas outras linhas:
R_{1}\leftarrow R_{1}-3R_{2},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}+8R_{2}.
Fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 5/8 & 1 & 15/4\\\\ 0 & 1 & 1/8 & 0 & -1/4\\\\ 0 & 0 & 0 & -4 & -12 \end{array}\right].

Passo 5

Agora pivotamos na posição (3,4). Dividimos a terceira linha por -4:
R_{3}\leftarrow -\tfrac{1}{4}R_{3}\;\Longrightarrow\; R_{3}=[\,0\;\;0\;\;0\;\;1\mid 3\,].
Em seguida anulamos o coeficiente de x_{4} acima:
R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{3},\quad R_{2}\text{ já tem zero em }x_{4}.á
Temos a forma reduzida
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 5/8 & 0 & 3/4\\\\ 0 & 1 & 1/8 & 0 & -1/4\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right].

Passo 6

Identificamos pivôs em x_{1},x_{2},x_{4} e vemos que x_{3} é livre. Seja \;x_{3}=t,\;t\in\mathbb{R}.
Das linhas reduzidas obtemos
x_{1}+\tfrac{5}{8}x_{3}=\tfrac{3}{4}\;\Longrightarrow\; x_{1}=\tfrac{3}{4}-\tfrac{5}{8}t,
x_{2}+\tfrac{1}{8}x_{3}=-\tfrac{1}{4}\;\Longrightarrow\; x_{2}=-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{8}t,
x_{4}=3.

Resposta

A solução geral do sistema é
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) =\Bigl(\tfrac{3}{4}-\tfrac{5}{8}t,\;-\,\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{8}t,\;t,\;3\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

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