Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta. Suponha que todas as matrizes aqui sejam quadradas.
\operatorname{det} A^{T} A \geq 0.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma matriz quadrada A, vale sempre a desigualdade
\det\bigl(A^{T}A\bigr)\ge 0.
O conteúdo aqui envolve propriedades de determinante e de matrizes simétricas definidas positivas (ou semidefinidas).

Passo 2

Usamos a propriedade multiplicativa do determinante e o fato de que \det(A^T)=\det(A). Assim,
\det\bigl(A^{T}A\bigr) =\det\bigl(A^{T}\bigr)\,\det(A) =\det(A)\,\det(A) =\bigl(\det(A)\bigr)^{2}.
Como o quadrado de qualquer número real é não negativo, segue que
\bigl(\det(A)\bigr)^{2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \det\bigl(A^{T}A\bigr)\ge 0.

Resposta

Verdadeira

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