- Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta. (Se verdadeira, cite fatos ou teoremas apropriados. Se falsa, explique por que ou forneça um contraexemplo que mostre por que a afirmação não é verdadeira em todos os casos.) Nos itens de (a) até (f),
são vetores de um espaço vetorial
não trivial de dimensão finita e
.
a. O conjunto de todas as combinações lineares de
é um espaço vetorial.
b. Se
gerar
, então
gerará
.
c. Se
for linearmente independente, então
também será.
d. Se
for linearmente independente, então
será uma base para
.
e. Se
, então algum subconjunto de
será uma base para
.
f. Se
e
, então
não poderá ser linearmente dependente.
g. Um plano em
é um subespaço bidimensional.
h. As colunas não pivôs de uma matriz são sempre linearmente dependentes.
i. As operações elementares realizadas nas linhas de uma matriz
podem mudar as relações de dependência linear entre as linhas de
.
j. As operações elementares aplicadas em uma matriz podem mudar seu espaço nulo.
k. O posto de uma matriz é igual ao número de linhas não nulas.
- Se uma matriz
for equivalente por linhas a uma matriz escalonada
e se
tiver
linhas não nulas, então a dimensão do espaço solução de
é
.
m. Se
for obtida de uma matriz
por meio de várias operações elementares, então posto
posto
.
n. As linhas não nulas de uma matriz
formam uma base para
.
o. Se as matrizes
e
tiverem a mesma forma escalonada reduzida, então
.
p. Se
for um subespaço de
, então existe uma matriz
tal que
.
q. Se
for
e posto
, então a transformação linear
será injetora.
r. Se
for
e a transformação linear
for sobrejetora, então posto
.
s. Uma matriz de mudança de coordenadas é sempre invertível.
t. Se
e
forem bases para um espaço vetorial
, então a
-ésima coluna da matriz de mudança de coordenadas
será o vetor de coordenadas
.
a. O conjunto de todas as combinações lineares de
b. Se
c. Se
d. Se
e. Se
f. Se
g. Um plano em
h. As colunas não pivôs de uma matriz são sempre linearmente dependentes.
i. As operações elementares realizadas nas linhas de uma matriz
j. As operações elementares aplicadas em uma matriz podem mudar seu espaço nulo.
k. O posto de uma matriz é igual ao número de linhas não nulas.
m. Se
n. As linhas não nulas de uma matriz
o. Se as matrizes
p. Se
q. Se
r. Se
s. Uma matriz de mudança de coordenadas é sempre invertível.
t. Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações (a)–(t) sobre espaços vetoriais de dimensão finita, operações elementares, posto, núcleo, transformações lineares e mudança de base, sempre justificando com definições, teoremas ou contraexemplos. Precisaremos usar: definição de combinação linear e seu espaço gerado (span), independência linear, base e dimensão, teorema da dimensão (dim V = posto + nulidade), propriedades de operações elementares e de matrizes em forma escalonada, além de conceitos de transformação linear e matriz de mudança de coordenadas.
Passo 2
Definições e fatos-chave que usaremos:
– O span (espaço gerado) de um conjunto é sempre um subespaço.
– Um conjunto gera V se seu span = V; qualquer conjunto que contenha um gerador ainda gera V.
– Um conjunto de vetores forma base se gera V e é linearmente independente.
– De um conjunto que gera V podemos extrair uma base (teorema da base contida em gerador).
– Se |S| = dim V e span S = V, então S é base (logo LI).
– Operações elementares de linha preservam posto e o espaço de soluções de Ax .
– Posto(A) = número de pivôs = número de linhas não nulas em qualquer forma escalonada de A.
– dim Nul(A) = n – posto(A).
– Duas matrizes com mesma forma escalonada reduzida são equivalentes por linhas, logo têm mesmo espaço linha.
– Qualquer subespaço de é coluna de alguma matriz
.
– Teorema da imagem: transformações são injetoras ↔ nulidade
; são sobrejetoras ↔ post
.
– Matriz de mudança de coordenadas entre bases é invertível; a coluna j é as coordenadas de na base B.
– O span (espaço gerado) de um conjunto é sempre um subespaço.
– Um conjunto gera V se seu span = V; qualquer conjunto que contenha um gerador ainda gera V.
– Um conjunto de vetores forma base se gera V e é linearmente independente.
– De um conjunto que gera V podemos extrair uma base (teorema da base contida em gerador).
– Se |S| = dim V e span S = V, então S é base (logo LI).
– Operações elementares de linha preservam posto e o espaço de soluções de Ax
– Posto(A) = número de pivôs = número de linhas não nulas em qualquer forma escalonada de A.
– dim Nul(A) = n – posto(A).
– Duas matrizes com mesma forma escalonada reduzida são equivalentes por linhas, logo têm mesmo espaço linha.
– Qualquer subespaço de
– Teorema da imagem: transformações
– Matriz de mudança de coordenadas entre bases é invertível; a coluna j é as coordenadas de
Passo 3
Classificando (a)–(f) para
:
(a) Verdadeira. Por definição, é o conjunto de todas as combinações lineares de
, e sabemos que
é sempre subespaço vetorial.
(b) Verdadeira. Se já gera
, então adicionar
não reduz a capacidade de gerar
; o span de
continua sendo
.
(c) Falsa. Mesmo que seja LI, incluir
pode criar dependência se
for combinação dos anteriores. Ex.: em
,
é LI, mas
é LD.
(d) Falsa. LI não garante geração. Por exemplo, em ,
é LI mas não gera todo
.
(e) Verdadeira. Teorema: de qualquer conjunto que gera podemos extrair uma base, removendo vetores redundantes até obter LI e ainda gerando
.
(f) Verdadeira. Se e
com
, então nenhum vetor de
pode ser combinação dos outros senão não se atingiria dimensão
. Logo
é LI.
(a) Verdadeira. Por definição,
(b) Verdadeira. Se
(c) Falsa. Mesmo que
(d) Falsa. LI não garante geração. Por exemplo, em
(e) Verdadeira. Teorema: de qualquer conjunto que gera
(f) Verdadeira. Se
Passo 4
Classificando (g)–(i):
(g) Falsa. “Um plano em ” nem sempre passa pela origem; só planos que são subespaços (i.e.\ contêm a origem) têm dimensão 2.
(h) Falsa. Cada coluna não pivô é combinação das pivôs, mas se houver apenas uma coluna não pivô não há dependência interna no próprio conjunto unitário; além disso, o enunciado sem contexto de geração fica ambíguo.
(i) Verdadeira. Operações elementares sobre linhas trocam, somam e escalam linhas, alterando as relações numéricas de dependência entre as linhas; o espaço linha permanece igual, mas as equações entre as linhas originais não se mantêm em forma idêntica.
(g) Falsa. “Um plano em
(h) Falsa. Cada coluna não pivô é combinação das pivôs, mas se houver apenas uma coluna não pivô não há dependência interna no próprio conjunto unitário; além disso, o enunciado sem contexto de geração fica ambíguo.
(i) Verdadeira. Operações elementares sobre linhas trocam, somam e escalam linhas, alterando as relações numéricas de dependência entre as linhas; o espaço linha permanece igual, mas as equações entre as linhas originais não se mantêm em forma idêntica.
Passo 5
Classificando (j)–(l):
(j) Falsa. Operações elementares de linha não alteram o espaço nulo de ; as soluções de
são preservadas pela equivalência por linhas.
(k) Falsa. O posto de é o número de linhas não nulas em sua forma escalonada, mas contar as linhas não nulas de
original pode superestimar o posto.
(l) Falsa. A dimensão do espaço solução de é
, onde
é o número de linhas não nulas de
, não
.
(j) Falsa. Operações elementares de linha não alteram o espaço nulo de
(k) Falsa. O posto de
(l) Falsa. A dimensão do espaço solução de
Passo 6
Classificando (m)–(o):
(m) Verdadeira. Operações elementares de linha não alteram pivôs e, por consequência, não alteram o posto.
(n) Falsa. As linhas não nulas de podem ser linearmente dependentes; apenas após escalonamento podemos extrair as linhas não nulas de
como base do espaço linha.
(o) Verdadeira. Se e
têm a mesma forma escalonada reduzida, então são equivalentes por linhas ao mesmo
, logo possuem o mesmo espaço linha:
.
(m) Verdadeira. Operações elementares de linha não alteram pivôs e, por consequência, não alteram o posto.
(n) Falsa. As linhas não nulas de
(o) Verdadeira. Se
Passo 7
Classificando §–®:
§ Verdadeira. Dado subespaço , escolha uma base de
(de dimensão 0,1,2 ou 3) e coloque esses vetores como colunas de uma matriz
; então
.
(q) Falsa. Se é
e
(linha cheia) mas
, então
: não é injetora.
® Verdadeira. A aplicação é sobrejetora em
exatamente quando
, i.e.\
.
§ Verdadeira. Dado subespaço
(q) Falsa. Se
® Verdadeira. A aplicação
Passo 8
Classificando (s)–(t):
(s) Verdadeira. Matriz de mudança de coordenadas entre duas bases de um mesmo espaço é sempre invertível (é isomorfismo entre sistemas de coordenadas).
(t) Verdadeira. Na matriz de mudança de base de para
, a coluna
é exatamente as coordenadas de
na base
, ou seja
.
(s) Verdadeira. Matriz de mudança de coordenadas entre duas bases de um mesmo espaço é sempre invertível (é isomorfismo entre sistemas de coordenadas).
(t) Verdadeira. Na matriz de mudança de base de
Resposta
a. V
b. V
c. F
d. F
e. V
f. V
g. F
h. F
i. V
j. F
k. F
l. F
m. V
n. F
o. V
p. V
q. F
r. V
s. V
t. V
b. V
c. F
d. F
e. V
f. V
g. F
h. F
i. V
j. F
k. F
l. F
m. V
n. F
o. V
p. V
q. F
r. V
s. V
t. V