1. Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta. (Se verdadeira, cite fatos ou teoremas apropriados. Se falsa, explique por que ou forneça um contraexemplo que mostre por que a afirmação não é verdadeira em todos os casos.) Nos itens de (a) até (f), \mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{p} são vetores de um espaço vetorial V não trivial de dimensão finita e S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{p}\right\}.
    a. O conjunto de todas as combinações lineares de \mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{p} é um espaço vetorial.
    b. Se \left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{p-1}\right\} gerar V, então S gerará V.
    c. Se \left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{p-1}\right\} for linearmente independente, então S também será.
    d. Se S for linearmente independente, então S será uma base para V.
    e. Se \mathcal{L} S=V, então algum subconjunto de S será uma base para V.
    f. Se \operatorname{dim} V=p e \mathcal{L} S=V, então S não poderá ser linearmente dependente.
    g. Um plano em \mathbb{R}^{3} é um subespaço bidimensional.
    h. As colunas não pivôs de uma matriz são sempre linearmente dependentes.
    i. As operações elementares realizadas nas linhas de uma matriz A podem mudar as relações de dependência linear entre as linhas de A.
    j. As operações elementares aplicadas em uma matriz podem mudar seu espaço nulo.
    k. O posto de uma matriz é igual ao número de linhas não nulas.
  2. Se uma matriz A m \times n for equivalente por linhas a uma matriz escalonada U e se U tiver k linhas não nulas, então a dimensão do espaço solução de A \mathbf{x}=\mathbf{0} é m- k.
    m. Se B for obtida de uma matriz A por meio de várias operações elementares, então posto B= posto A.
    n. As linhas não nulas de uma matriz A formam uma base para \operatorname{Lin} A.
    o. Se as matrizes A e B tiverem a mesma forma escalonada reduzida, então \operatorname{Lin} A=\operatorname{Lin} B.
    p. Se H for um subespaço de \mathbb{R}^{3}, então existe uma matriz A 3 \times 3 tal que H=\operatorname{Col} A.
    q. Se A for m \times n e posto A=m, então a transformação linear \mathbf{x} \mapsto A \mathbf{x} será injetora.
    r. Se A for m \times n e a transformação linear \mathbf{x} \mapsto A \mathbf{x} for sobrejetora, então posto A=m.
    s. Uma matriz de mudança de coordenadas é sempre invertível.
    t. Se B=\left\{\mathbf{b}_{1}, \ldots, \mathbf{b}_{n}\right\} e C=\left\{\mathbf{c}_{1}, \ldots, \mathbf{c}_{n}\right\} forem bases para um espaço vetorial V, então a j-ésima coluna da matriz de mudança de coordenadas \mathcal{P} \leftarrow_{\mathcal{B}} será o vetor de coordenadas \left[\mathbf{c}_{j}\right]_{B}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações (a)–(t) sobre espaços vetoriais de dimensão finita, operações elementares, posto, núcleo, transformações lineares e mudança de base, sempre justificando com definições, teoremas ou contra­exemplos. Precisaremos usar: definição de combinação linear e seu espaço gerado (span), independência linear, base e dimensão, teorema da dimensão (dim V = posto + nulidade), propriedades de operações elementares e de matrizes em forma escalonada, além de conceitos de transformação linear e matriz de mudança de coordenadas.

Passo 2

Definições e fatos-chave que usaremos:
– O span (espaço gerado) de um conjunto é sempre um subespaço.
– Um conjunto gera V se seu span = V; qualquer conjunto que contenha um gerador ainda gera V.
– Um conjunto de vetores forma base se gera V e é linearmente independente.
– De um conjunto que gera V podemos extrair uma base (teorema da base contida em gerador).
– Se |S| = dim V e span S = V, então S é base (logo LI).
– Operações elementares de linha preservam posto e o espaço de soluções de Ax =0.
– Posto(A) = número de pivôs = número de linhas não nulas em qualquer forma escalonada de A.
– dim Nul(A) = n – posto(A).
– Duas matrizes com mesma forma escalonada reduzida são equivalentes por linhas, logo têm mesmo espaço linha.
– Qualquer subespaço de \mathbb{R}^3 é coluna de alguma matriz 3\times3.
– Teorema da imagem: transformações x\mapsto Ax são injetoras ↔ nulidade =0; são sobrejetoras ↔ post o=m.
– Matriz de mudança de coordenadas entre bases é invertível; a coluna j é as coordenadas de \mathbf c_j na base B.

Passo 3

Classificando (a)–(f) para S=\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_p\}\subset V:
(a) Verdadeira. Por definição, \mathrm{Span}\,S é o conjunto de todas as combinações lineares de \mathbf v_i, e sabe­mos que \mathrm{Span}\,S é sempre subespaço vetorial.
(b) Verdadeira. Se \{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_{p-1}\} já gera V, então adicionar \mathbf v_p não reduz a capacidade de gerar V; o span de S continua sendo V.
(c) Falsa. Mesmo que \{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_{p-1}\} seja LI, incluir \mathbf v_p pode criar dependência se \mathbf v_p for combinação dos anteriores. Ex.: em \mathbb R^2, \{(1,0)\} é LI, mas \{(1,0),(2,0)\} é LD.
(d) Falsa. LI não garante geração. Por exemplo, em \mathbb R^3, \{(1,0,0),(0,1,0)\} é LI mas não gera todo \mathbb R^3.
(e) Verdadeira. Teorema: de qualquer conjunto que gera V podemos extrair uma base, removendo vetores redundantes até obter LI e ainda gerando V.
(f) Verdadeira. Se \dim V=p e \mathrm{Span}\,S=V com |S|=p, então nenhum vetor de S pode ser combinação dos outros senão não se atingiria dimensão p. Logo S é LI.

Passo 4

Classificando (g)–(i):
(g) Falsa. “Um plano em \mathbb R^3” nem sempre passa pela origem; só planos que são subespaços (i.e.\ contêm a origem) têm dimensão 2.
(h) Falsa. Cada coluna não pivô é combinação das pivôs, mas se houver apenas uma coluna não pivô não há dependência interna no próprio conjunto unitário; além disso, o enunciado sem contexto de geração fica ambíguo.
(i) Verdadeira. Operações elementares sobre linhas trocam, somam e escalam linhas, alterando as relações numéricas de dependência entre as linhas; o espaço linha permanece igual, mas as equações entre as linhas originais não se mantêm em forma idêntica.

Passo 5

Classificando (j)–(l):
(j) Falsa. Operações elementares de linha não alteram o espaço nulo de A; as soluções de Ax=0 são preservadas pela equivalência por linhas.
(k) Falsa. O posto de A é o número de linhas não nulas em sua forma escalonada, mas contar as linhas não nulas de A original pode superestimar o posto.
(l) Falsa. A dimensão do espaço solução de Ax=0 é n - k, onde k é o número de linhas não nulas de U, não m - k.

Passo 6

Classificando (m)–(o):
(m) Verdadeira. Operações elementares de linha não alteram pivôs e, por consequência, não alteram o posto.
(n) Falsa. As linhas não nulas de A podem ser linearmente dependentes; apenas após escalonamento podemos extrair as linhas não nulas de U como base do espaço linha.
(o) Verdadeira. Se A e B têm a mesma forma escalonada reduzida, então são equivalentes por linhas ao mesmo U, logo possuem o mesmo espaço linha: \mathrm{Lin}\,A=\mathrm{Lin}\,U=\mathrm{Lin}\,B.

Passo 7

Classificando §–®:
§ Verdadeira. Dado subespaço H\subseteq\mathbb R^3, escolha uma base de H (de dimensão 0,1,2 ou 3) e coloque esses vetores como colunas de uma matriz 3\times3; então \mathrm{Col}\,A=H.
(q) Falsa. Se A é m\times n e \mathrm{posto}(A)=m (linha cheia) mas m<n, então \dim\ker A=n-m>0: não é injetora.
® Verdadeira. A aplicação x\mapsto Ax é sobrejetora em \mathbb R^m exatamente quando \mathrm{Col}\,A=\mathbb R^m, i.e.\ \mathrm{posto}(A)=m.

Passo 8

Classificando (s)–(t):
(s) Verdadeira. Matriz de mudança de coordenadas entre duas bases de um mesmo espaço é sempre invertível (é isomorfismo entre sistemas de coordenadas).
(t) Verdadeira. Na matriz de mudança de base de \mathcal B para \mathcal C, a coluna j é exatamente as coordenadas de \mathbf c_j na base \mathcal B, ou seja [\mathbf c_j]_{B}.

Resposta

a. V
b. V
c. F
d. F
e. V
f. V
g. F
h. F
i. V
j. F
k. F
l. F
m. V
n. F
o. V
p. V
q. F
r. V
s. V
t. V

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