Quais das matrizes seguintes são elementares? Classifique cada matriz elementar por tipo.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 2 & 0 0 & 3
é elementar, ou seja, se ela pode ser obtida a partir da matriz identidade por uma única operação de linha.
Passo 2
Lembrando os três tipos de matrizes elementares (cada uma resultante de uma única operação de linha sobre a identidade): 1. Troca de duas linhas (tipo I), que gera permutações de linhas. 2. Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo (tipo II), produzindo matrizes da forma diag(alpha,1) ou diag(1,alpha). 3. Adição de um múltiplo de uma linha a outra (tipo III), que introduz um elemento fora da diagonal.
Passo 3
A matriz A é diagonal com entradas ,2 na posição (1,1) e ,3 em (2,2).
Uma matriz elementar do tipo II só altera uma linha por vez, gerando algo como diag(2,1) ou diag(1,3).
Para obter diag(2,3) a partir da identidade seria preciso primeiro multiplicar a linha 1 por 2 e depois multiplicar a linha 2 por 3: duas operações distintas.
Passo 4
Como é necessário mais de uma operação de linha para chegar em A, ela não é elemento de nenhuma única operação.
Resposta
A matriz 2 & 0 0 & 3 não é elementar.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Steven J - Álgebra Linear com Aplicações - 8ª Edição - Capítulo 1.1.5 - Ex. 1.b