Mostre que a curva (hipérbole) formada pela intersecção de um cone de ângulo de abertura 2 alpha com plano pi que faz um ângulo theta<alpha com o eixo do cone, obedece a equação:
|F X|=eta d(X, r)
com eta>1, onde F é o foco da hipérbole e r a sua diretriz.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a hipérbole obtida pela interseção de um cone de semi-ângulo α com um plano π que forma ângulo θ<α com o eixo do cone satisfaz a definição de seção cônica por foco e diretriz, ou seja, que para todo ponto X da curva vale ‖FX‖=η·d(X,r) com η>1. Vamos usar o método das esferas de Dandelin e relações trigonométricas em sólidos.

Passo 2

Inscrevemos no cone uma esfera S (esfera de Dandelin) que seja tangente ao plano π em um ponto F e tangente ao cone ao longo de uma circunferência C. Seja σ o plano que contém o vértice V do cone e toca S ao longo de C. Definimos o foco da hipérbole como F e a diretriz r como a interseção r=π∩σ.

Passo 3

Para qualquer ponto X na interseção cone∩π desenhamos as duas linhas de X que tocam S: uma em π, que atinge S em F, de comprimento ‖XF‖, e outra em σ, que toca S em C. Como toda tangente a uma esfera a partir de X tem o mesmo comprimento, esses dois segmentos são iguais. Ao projetar a segunda tangente ortogonalmente em π, obtemos exatamente d(X,r). Porém, devido à inclinação de σ em relação a π, entre esses comprimentos aparece um fator de escala ligado aos ângulos θ e α.

Passo 4

Analisando o triângulo formado pelo centro de S, pelo ponto de tangência F (distância R) e pela projeção do centro em π (distância R·sinθ/ sinα), ou usando diretamente as relações trigonométricas entre σ e π, concluímos que
|XF|d(X,r)=sinalphasintheta,,

Passo 5

e como θ<α segue sinα/sinθ>1. Portanto η=sinα/sinθ>1.

Resposta

Mostramos que para todo X na hipérbole vale |FX|=eta,d(X,r) com eta=dfracsinalphasintheta>1.

Exercícios de Livros Relacionados