Mostre que a curva (hipérbole) formada pela intersecção de um cone de ângulo de abertura com plano que faz um ângulo com o eixo do cone, obedece a equação:
com eta>1, onde F é o foco da hipérbole e r a sua diretriz.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a hipérbole obtida pela interseção de um cone de semi-ângulo α com um plano π que forma ângulo θ<α com o eixo do cone satisfaz a definição de seção cônica por foco e diretriz, ou seja, que para todo ponto X da curva vale ‖FX‖=η·d(X,r) com η>1. Vamos usar o método das esferas de Dandelin e relações trigonométricas em sólidos.
Passo 2
Inscrevemos no cone uma esfera S (esfera de Dandelin) que seja tangente ao plano π em um ponto F e tangente ao cone ao longo de uma circunferência C. Seja σ o plano que contém o vértice V do cone e toca S ao longo de C. Definimos o foco da hipérbole como F e a diretriz r como a interseção r=π∩σ.
Passo 3
Para qualquer ponto X na interseção cone∩π desenhamos as duas linhas de X que tocam S: uma em π, que atinge S em F, de comprimento ‖XF‖, e outra em σ, que toca S em C. Como toda tangente a uma esfera a partir de X tem o mesmo comprimento, esses dois segmentos são iguais. Ao projetar a segunda tangente ortogonalmente em π, obtemos exatamente d(X,r). Porém, devido à inclinação de σ em relação a π, entre esses comprimentos aparece um fator de escala ligado aos ângulos θ e α.
Passo 4
Analisando o triângulo formado pelo centro de S, pelo ponto de tangência F (distância R) e pela projeção do centro em π (distância R·sinθ/ sinα), ou usando diretamente as relações trigonométricas entre σ e π, concluímos que
|XF|d(X,r)=sinalphasintheta,,
Passo 5
e como θ<α segue sinα/sinθ>1. Portanto η=sinα/sinθ>1.
Resposta
Mostramos que para todo X na hipérbole vale |FX|=eta,d(X,r) com eta=dfracsinalphasintheta>1.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici - Geometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici- Geometria Analítica e Vetorialª Edição - Capítulo 8.6 - Ex. 8.2