Mostre usando as esferas de Dandelin que os pontos X da hipérbole satisfazem a equação:
||F1 X|-|F2 X||=k
onde F1 e F2 são os focos da hipérbole e k uma constante real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma hipérbole é obtida pela interseção de um cone reto com um plano, então todo ponto X dessa hipérbole satisfaz l||XF1| - |XF2|r| = k, onde F₁ e F₂ são os pontos de tangência (focos) de duas esferas de Dandelin inscritas nas duas nappes do cone e k é uma constante. Vamos usar o método das esferas de Dandelin.

Passo 2

Construa duas esferas de Dandelin: uma em cada nappe do cone. Denote por S₁ a esfera que tangencia o plano no ponto F₁ e o cone ao longo de um círculo C₁, e por S₂ a esfera que tangencia o plano no ponto F₂ e o cone ao longo de um círculo C₂. Sejam C₁ e C₂ os centros de S₁ e S₂, e r₁, r₂ seus respectivos raios. Esses pontos F₁ e F₂ são os focos da hipérbole.

Passo 3

Escolha um ponto X sobre a hipérbole (ou seja, X ∈ π ∩ cone). Há uma reta ℓ, tangente ao cone no ponto X, que também está contida no plano π (é a reta tangente à hipérbole em X). Como cada esfera é tangente ao cone, ℓ será também reta tangente a ambas as esferas S₁ e S₂. Seja T₁ o ponto de contato de ℓ com S₁ e T₂ o ponto de contato de ℓ com S₂.

Passo 4

Pelo teorema do segmento tangente a uma esfera, se de um ponto X fora da esfera traçamos uma reta tangente, os comprimentos dos segmentos deste ponto até os pontos de tangência são iguais. Além disso, como S₁ tangencia o plano em F₁, qualquer reta em π que passe por F₁ é reta tangente a S₁. Assim
XF1 = XT1,
XF2 = XT2

Passo 5

Os pontos T₁, X e T₂ estão alinhados pois todos pertencem à mesma reta ℓ, tangente ao cone em X e contida no plano π. Desse modo temos
l||XF1| - |XF2|r| = |XT1 - XT2| = T1T2

Passo 6

Como T₁ e T₂ são fixos (são pontos de tangência das esferas de Dandelin com o cone) a distância T1T2 é constante. Logo
l||XF1| - |XF2|r| = k,
com k = T1T2 independente da escolha de X na hipérbole.

Resposta

l||XF1| - |XF2|r| = k, com k=T1T2 constante.

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