Mostre que os elementos diagonais de uma matriz auto-adjunta têm que ser reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se uma matriz A é auto-adjunta (ou Hermitiana), então cada elemento diagonal de A é um número real.
Conteúdo usado: definição de matriz auto-adjunta, que significa
A = A^{*},
onde A^{*} é a conjugada transposta de A.

Passo 2

Pela definição de auto-adjunta temos, para todo par de índices i,j,
a_{ij} = \overline{a_{ji}}.
Em particular, tomando i=j, obtemos
a_{ii} = \overline{a_{ii}}.

Passo 3

Sejam a_{ii} = x + \mathrm{i}y com x,y\in\mathbb{R}. A igualdade
x + \mathrm{i}y = \overline{x + \mathrm{i}y} = x - \mathrm{i}y
implica \mathrm{i}y = -\mathrm{i}y, ou seja 2\,\mathrm{i}y=0, de onde y=0. Logo a_{ii}=x\in\mathbb{R}.

Resposta

Cada elemento diagonal a_{ii} de uma matriz auto-adjunta é real.

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