(a) Mostre que
é invertível e ache sua inversa
. Calcule
e
.
(b) Calcule a função
inversa de
. Verifique que
.
(c) De um modo geral, se
são constantes tais que
e
, existe uma função
tal que
. Calcule as constantes
em função de
. Por que a condição
é necessária? Qual a relação existente entre
e
?
(b) Calcule a função
(c) De um modo geral, se
Passo 1
O enunciado pede para estudar a invertibilidade de funções afins e fracionárias, achar suas inversas e verificar composições. O conteúdo é função inversa de
, usando que
– funções lineares são bijetivas se
,
– funções de Möbius são bijetivas se
.
Para resolver, basta resolver a equação para
e checar que
e
.
– funções lineares
– funções de Möbius
Para resolver, basta resolver a equação
Passo 2
(a)
tem coeficiente angular
, logo é estritamente crescente e bijetiva em
.
Passo 3
Para achar a inversa
resolvemos
Logo
Passo 4
Verificamos as composições:
Passo 5
(b)
. O “determinante”
garante que
é bijetiva em
.
Passo 6
Para achar a inversa
resolvemos
Logo
Passo 7
Fazendo a substituição direta e simplificando (por exemplo em
) chega-se a
e analogamente
.
Passo 8
(c) Para
com
, resolvemos
Logo
Passo 9
A condição
é necessária para que o denominador
de
(e
de
) não se anule identicamente e para que a equação acima possa ser invertida. Em termos de matrizes,
é o determinante da matriz
.
Passo 10
A relação entre
e
é que
é a função inversa de
, isto é,
e ambas formam o grupo das transformações lineares fracionárias sob composição.
Resposta
(a)
, com
.
(b) , com
.
(c) , condição
necessária;
.
(b)
(c)