(a) Mostre que f(x)=3 x-5 é invertível e ache sua inversa g. Calcule f(g(x)) e g(f(x)).
(b) Calcule a função g(x) inversa de f(x)=\frac{2 x+1}{x+1}. Verifique que f(g(x))=g(f(x))=x.
(c) De um modo geral, se a, b, c, d são constantes tais que a d-b c \neq 0 e f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}, existe uma função g(x)=\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta} tal que f(g(x))=g(f(x))=x. Calcule as constantes \alpha, \beta, \gamma, \delta em função de a, b, c, d. Por que a condição a d-b c \neq 0 é necessária? Qual a relação existente entre f e g ?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a invertibilidade de funções afins e fracionárias, achar suas inversas e verificar composições. O conteúdo é função inversa de f(x), usando que
– funções lineares f(x)=mx+b são bijetivas se m\neq0,
– funções de Möbius f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} são bijetivas se ad-bc\neq0.
Para resolver, basta resolver a equação y=f(x) para x e checar que f\circ g=\mathrm{id} e g\circ f=\mathrm{id}.

Passo 2

(a) f(x)=3x-5 tem coeficiente angular 3\neq0, logo é estritamente crescente e bijetiva em \mathbb{R}.

Passo 3

Para achar a inversa g resolvemos
y = 3x - 5
3x = y + 5
x = \frac{y+5}{3}
Logo
g(x) = \frac{x + 5}{3}.

Passo 4

Verificamos as composições:
f\bigl(g(x)\bigr) =3\!\left(\frac{x+5}{3}\right)-5 =x+5-5 =x,
g\bigl(f(x)\bigr) =\frac{(3x-5)+5}{3} =\frac{3x}{3} =x.

Passo 5

(b) f(x)=\frac{2x+1}{x+1}. O “determinante” 2\cdot1-1\cdot1=1\neq0 garante que f é bijetiva em \mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 6

Para achar a inversa g resolvemos
y=\frac{2x+1}{x+1} \;\Longrightarrow\; y(x+1)=2x+1 \;\Longrightarrow\; yx + y = 2x + 1
yx-2x = 1 - y \;\Longrightarrow\; x\,(y-2)=1-y \;\Longrightarrow\; x=\frac{1-y}{y-2} =\frac{y-1}{2-y}.
Logo
g(x)=\frac{x-1}{2-x}.

Passo 7

Fazendo a substituição direta e simplificando (por exemplo em f(g(x))) chega-se a
f\bigl(g(x)\bigr) =\frac{2\frac{x-1}{2-x}+1}{\frac{x-1}{2-x}+1} =x,
e analogamente g(f(x))=x.

Passo 8

(c) Para f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} com ad - bc\neq0, resolvemos
y=\frac{ax+b}{cx+d} \;\Longrightarrow\; y(cx+d)=ax+b \;\Longrightarrow\; c\,y\,x + d\,y = a\,x + b
c\,y\,x - a\,x = b - d\,y \;\Longrightarrow\; x\,(c\,y - a)=b - d\,y \;\Longrightarrow\; x=\frac{b - d\,y}{c\,y - a} =\frac{d\,y - b}{a - c\,y}.
Logo
g(x)=\frac{d\,x - b}{\,a - c\,x\,}.

Passo 9

A condição ad-bc\neq0 é necessária para que o denominador cx+d de f (e a - cx de g) não se anule identicamente e para que a equação acima possa ser invertida. Em termos de matrizes, ad-bc é o determinante da matriz \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}.

Passo 10

A relação entre f e g é que g é a função inversa de f, isto é,
f\bigl(g(x)\bigr)=x \quad\text{e}\quad g\bigl(f(x)\bigr)=x,
e ambas formam o grupo das transformações lineares fracionárias sob composição.

Resposta

(a) g(x)=\frac{x+5}{3}, com f(g(x))=g(f(x))=x.
(b) g(x)=\frac{x-1}{2-x}, com f(g(x))=g(f(x))=x.
(c) g(x)=\frac{d\,x - b}{a - c\,x}, condição ad-bc\neq0 necessária; g=f^{-1}.

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