Mostre que os polinômios de Chebyshev têm as seguintes propriedades:
, para
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade dos polinômios de Chebyshev de primeira espécie
valendo para inteiros
. O conteúdo que vamos usar é a definição trigonométrica de
e a fórmula de produto de cossenos.
Passo 2
Lembramos que, por definição,
Para trabalhar com esse formato, seja
, de modo que
. Então
Passo 3
Começamos escrevendo o produto que aparece na identidade:
Agora basta aplicar a identidade trigonométrica de produto de cossenos.
Passo 4
A identidade de produto de cossenos diz
Logo
Passo 5
Reconhecemos que
. Portanto
e multiplicando ambos os lados por
obtemos exatamente