Mostre que os polinômios de Chebyshev têm as seguintes propriedades:
2 Tm(x) Tn(x)=Tm+n(x)+Tm-n(x), para m>n

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade dos polinômios de Chebyshev de primeira espécie
2,Tm(x),Tn(x)=Tm+n(x)+Tm-n(x),
valendo para inteiros m>n. O conteúdo que vamos usar é a definição trigonométrica de Tk e a fórmula de produto de cossenos.

Passo 2

Lembramos que, por definição,
Tk(x)=cosl(karccos xr)
Para trabalhar com esse formato, seja theta=arccos x, de modo que x=costheta. Então
Tm(x)=cos(mtheta), Tn(x)=cos(ntheta)

Passo 3

Começamos escrevendo o produto que aparece na identidade:
Tm(x),Tn(x) =cos(mtheta),cos(ntheta)
Agora basta aplicar a identidade trigonométrica de produto de cossenos.

Passo 4

A identidade de produto de cossenos diz
cos(mtheta),cos(ntheta) =tfrac12l[cosl((m+n)thetar)+cosl((m-n)thetar)r]
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Tm(x),Tn(x) =tfrac12l[cosl((m+n)thetar)+cosl((m-n)thetar)r]

Passo 5

Reconhecemos que cosl((mpm n)thetar)=Tmpm n(x). Portanto
Tm(x),Tn(x) =tfrac12l[Tm+n(x)+Tm-n(x)r],
e multiplicando ambos os lados por 2 obtemos exatamente
2,Tm(x),Tn(x)=Tm+n(x)+Tm-n(x)

Resposta

2,Tm(x),Tn(x)=Tm+n(x)+Tm-n(x)

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