Se o numerador e o denominador de uma certa fração forem acrescidos de 3, a fração resultante será igual a 2 / 3. Entretanto, se o numerador e o denominador forem diminuídos em 2 , a fração resultante será 1 / 2. Determine a fração.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma fração desconhecida ab. Se somarmos 3 ao numerador e ao denominador, a nova fração é tfrac23. Se diminuirmos 2 ao numerador e ao denominador, a nova fração é tfrac12. O conteúdo principal aqui é montar um sistema de duas equações lineares a partir dessas condições e resolver para a e b.

Passo 2

Da primeira condição,
a+3b+3 = 23
multiplicamos em cruz para obter uma equação linear:
3(a+3) = 2(b+3) Longrightarrow 3a + 9 = 2b + 6 Longrightarrow 3a - 2b = -3

Passo 3

Da segunda condição,
a-2b-2 = 12
novamente multiplicamos em cruz:
2(a-2) = 1(b-2) Longrightarrow 2a - 4 = b - 2 Longrightarrow 2a - b = 2

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
3a - 2b = -3, 2a - b = 2
Da segunda equação segue b = 2a - 2. Substituindo na primeira:
3a - 2(2a - 2) = -3 Longrightarrow 3a - 4a + 4 = -3 Longrightarrow -a = -7 Longrightarrow a = 7
Logo b = 2cdot7 - 2 = 12.

Passo 5

Portanto, a fração original é
ab = 712
Verificação rápida: (7+3)/(12+3)=10/15=2/3 e (7-2)/(12-2)=5/10=1/2, como exigido.

Resposta

712

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