Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado por cada um dos seguintes conjuntos e, conseqüentemente, determine a dimensão daquele subespaço: .
Passo 1
O enunciado pede para achar uma base e a dimensão do subespaço de gerado pelos vetores , e . Vamos usar o conceito de independência linear e de determinante para decidir se esses vetores formam base.
Passo 2
Em , um conjunto de três vetores forma base se e somente se for linearmente independente. Para testar a independência linear podemos calcular o determinante da matriz que contém esses vetores como linhas (ou colunas). Se o determinante for diferente de zero, eles são independentes.
Passo 3
Montamos a matriz cujas linhas são os três vetores:
Como det(A)=12neq0, os vetores são linearmente independentes. Logo, eles formam uma base do subespaço que geram e esse subespaço tem dimensão igual ao número de vetores, isto é, 3.
Resposta
Uma base para o subespaço é (1,2,3),,(1,4,9),,(1,8,27) e a dimensão desse subespaço é 3.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - Elon Lages Lima - Algebra Linearª Edição - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 9.8.d