Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado por cada um dos seguintes conjuntos e, conseqüentemente, determine a dimensão daquele subespaço:
(1,2,3),(1,4,9),(1,8,27).

Passo 1

O enunciado pede para achar uma base e a dimensão do subespaço de R^3 gerado pelos vetores (1,2,3), (1,4,9) e (1,8,27). Vamos usar o conceito de independência linear e de determinante para decidir se esses vetores formam base.

Passo 2

Em R^3, um conjunto de três vetores forma base se e somente se for linearmente independente. Para testar a independência linear podemos calcular o determinante da matriz que contém esses vetores como linhas (ou colunas). Se o determinante for diferente de zero, eles são independentes.

Passo 3

Montamos a matriz A cujas linhas são os três vetores:
A = 1 & 2 & 3 1 & 4 & 9 1 & 8 & 27

Passo 4

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 1cdot(4cdot27 - 9cdot8) - 2cdot(1cdot27 - 9cdot1) + 3cdot(1cdot8 - 4cdot1) = 36 - 36 + 12 = 12

Passo 5

Como det(A)=12neq0, os vetores são linearmente independentes. Logo, eles formam uma base do subespaço que geram e esse subespaço tem dimensão igual ao número de vetores, isto é, 3.

Resposta

Uma base para o subespaço é (1,2,3),,(1,4,9),,(1,8,27) e a dimensão desse subespaço é 3.

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