Obtenha os polinômios reais de grau mínimo que têm como raízes i, 2 i e 3 i.
Resolução: Devido à Proposição 10, as raízes do polinômio procurado são: i,-i, 2 i,-2 i, 3 i e-3 i.
Logo, o polinômio é:
k(x-i)(x+i)(x-2 i)(x+2 i)(x-3 i)(x+3 i)
k(x^2+1)(x^2+4)(x^2+9)
Resposta: k(x^6+14 x^4+49 x^2+36), com k neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os polinômios reais de grau mínimo que tenham como raízes i, 2i e 3i. O conteúdo aqui é o Teorema das Raízes Conjugadas em polinômios com coeficientes reais: se um número complexo não real é raiz, seu conjugado também deve ser raiz.

Passo 2

Pela regra das raízes conjugadas, como i, 2i e 3i são raízes, também precisamos ter -i, -2i e -3i para garantir que o polinômio tenha coeficientes reais.

Passo 3

O polinômio de grau mínimo que engloba essas seis raízes é, à constante multiplicativa kneq0,
k,(x - i)(x + i)(x - 2i)(x + 2i)(x - 3i)(x + 3i)
Agrupando em fatores quadráticos, obtemos
k,(x^2+1)(x^2+4)(x^2+9)

Passo 4

Agora expandimos:
Primeiro (x^2+1)(x^2+4)=x^4+5x^2+4.
Em seguida,
(x^4+5x^2+4)(x^2+9) = x^6 + 9x^4 + 5x^4 + 45x^2 + 4x^2 + 36 = x^6 + 14x^4 + 49x^2 + 36

Resposta

O polinômio real de grau mínimo com raízes i, 2i e 3i é
kl(x^6 + 14x^4 + 49x^2 + 36r),
com kneq0.

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