Obtenha os polinômios reais de grau mínimo que têm como raízes
e
.
Resolução: Devido à Proposição 10, as raízes do polinômio procurado são:
,
.
Logo, o polinômio é:
Resposta:
, com
.
Logo, o polinômio é:
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os polinômios reais de grau mínimo que tenham como raízes
,
e
. O conteúdo aqui é o Teorema das Raízes Conjugadas em polinômios com coeficientes reais: se um número complexo não real é raiz, seu conjugado também deve ser raiz.
Passo 2
Pela regra das raízes conjugadas, como
,
e
são raízes, também precisamos ter
,
e
para garantir que o polinômio tenha coeficientes reais.
Passo 3
O polinômio de grau mínimo que engloba essas seis raízes é, à constante multiplicativa
,
Agrupando em fatores quadráticos, obtemos
Passo 4
Agora expandimos:
Primeiro .
Em seguida,
Primeiro
Em seguida,
Resposta
O polinômio real de grau mínimo com raízes
,
e
é
com
.