Ex. 5 - Oproduto de Hadamard de duas matrizes A e B é a matriz C tal que ci j=ai j bi j. Dados m e n, seja M o conjunto de matrizes m times n com coeficientes reais. Determine se (M,+, odot) é um corpo, onde odot é o produto de Hadamard.

Passo 1

O enunciado define M como o conjunto de todas as matrizes reais de tamanho mtimes n, com adição usual de matrizes e multiplicação definida pela Hadamard, ou seja, para A=(aij) e B=(bij) em M temos
Aodot B = C, cij=aijbij
Queremos ver se (M,+,odot) satisfaz as propriedades de um corpo (field): grupo abeliano na adição, existência de elemento neutro e inverso multiplicativo para todo elemento não-nulo, comutatividade, etc.

Passo 2

Verificamos que (M,+) é de fato um grupo abeliano:
  • Fechamento, associatividade e elemento neutro (a matriz zero) vêm da álgebra usual de matrizes.
  • Cada Ain M tem inverso aditivo -A.
  • A adição de matrizes é comutativa: A+B=B+A.

Passo 3

Analisamos agora :
  1. Associatividade: pois a multiplicação em é associativa coordenada a coordenada.
  2. Comutatividade: pois .
  3. Neutro multiplicativo: a matriz com todos os coeficientes iguais a satisfaz
para toda .

Passo 4

Propriedade essencial de corpo: todo elemento não-nulo (isto é, diferente da matriz zero) deve ter inverso multiplicativo em odot. Se A=(aij), um candidato a inverso seria B=(bij) com
bij = 1aij
Porém isso só faz sentido se todos os aijneq0. Logo toda matriz que tiver ao menos uma entrada zero não poderá ter inverso em odot, mesmo sendo diferente da matriz zero.

Passo 5

Concluímos que existem muitos elementos “não-nulos” (por exemplo uma matriz com um único zero em alguma entrada) que não têm inverso multiplicativo. Portanto não é um corpo.
Observação: no caso trivial , e aí sim temos um corpo (o corpo dos reais).

Resposta

(M,+,odot) não é um corpo, exceto no caso trivial m=n=1.

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