Ex. 5 - Oproduto de Hadamard de duas matrizes
e B é a matriz
tal que
. Dados m e n, seja
o conjunto de matrizes
com coeficientes reais. Determine se
é um corpo, onde
é o produto de Hadamard.
Passo 1
O enunciado define
como o conjunto de todas as matrizes reais de tamanho
, com adição usual de matrizes e multiplicação definida pela Hadamard, ou seja, para
e
em
temos
Queremos ver se
satisfaz as propriedades de um corpo (field): grupo abeliano na adição, existência de elemento neutro e inverso multiplicativo para todo elemento não-nulo, comutatividade, etc.
Passo 2
Verificamos que
é de fato um grupo abeliano:
- Fechamento, associatividade e elemento neutro (a matriz zero) vêm da álgebra usual de matrizes.
- Cada
tem inverso aditivo . - A adição de matrizes é comutativa:
.
Passo 3
Analisamos agora
:
- Associatividade:
pois a multiplicação em é associativa coordenada a coordenada. - Comutatividade:
pois . - Neutro multiplicativo: a matriz
com todos os coeficientes iguais a satisfaz
para toda
.
Passo 4
Propriedade essencial de corpo: todo elemento não-nulo (isto é, diferente da matriz zero) deve ter inverso multiplicativo em
. Se
, um candidato a inverso seria
com
Porém isso só faz sentido se todos os
. Logo toda matriz que tiver ao menos uma entrada zero não poderá ter inverso em
, mesmo sendo diferente da matriz zero.
Passo 5
Concluímos que existem muitos elementos “não-nulos” (por exemplo uma matriz com um único zero em alguma entrada) que não têm inverso multiplicativo. Portanto
não é um corpo.
Observação: no caso trivial
, e aí sim temos um corpo (o corpo dos reais).