A partir da definição, prove que, dados os números
, o conjunto
dos vetores
tais que
é um subespaço vetorial de
se, e somente se,
. Prove a afirmação feita no texto de que
é uma variedade afim.
Passo 1
Estamos trabalhando com a parte de subespaços de
e de variedades afins. O conjunto em questão é
Vamos usar o critério de subespaço vetorial (não vazio, fechado em soma e em multiplicação escalar) e a definição de variedade afim (translação de um subespaço).
Passo 2
Para aplicar o critério de subespaço, recorde que precisamos verificar três coisas: (i) o vetor zero está em
, (ii) se
então
, (iii) se
e
então
.
Passo 3
Suponha primeiro que
. Então
é exatamente o núcleo da forma linear
. Logo:
- Zero está em
pois . - Se
e então , logo . - Se
então , logo .
Isso mostra que, quando, é subespaço de .
Passo 4
Agora suponha que
. O vetor zero satisfaz
então
. Como todo subespaço precisa conter o vetor zero,
não pode ser subespaço. Assim concluímos que
é subespaço de
se, e somente se,
.
Passo 5
Para ver que
é uma variedade afim, considere o subespaço
e escolha um vetor qualquer
tal que
(se existir). Então todo
satisfaz
logo
e
. Vice-versa, qualquer ponto de
pertence a
. Assim
o que mostra que
é a translação de um subespaço e, portanto, uma variedade afim.
Passo 6
No caso degenerado em que
, a equação fica
. Se
então
(subespaço) e se
então
(não é subespaço nem variedade não‐vazia).
Resposta
Mostramos que
é subespaço de
se, e somente se,
. Além disso, para qualquer vetor
com
, temos
o que prova que
é uma variedade afim (translação do subespaço
).