A partir da definição, prove que, dados os números a1, ldots, an, c, o conjunto V dos vetores x=(x1, ldots, xn) in R^n tais que a1 x1+cdots+ an chin=c é um subespaço vetorial de R^n se, e somente se, c=0. Prove a afirmação feita no texto de que V é uma variedade afim.

Passo 1

Estamos trabalhando com a parte de subespaços de R^n e de variedades afins. O conjunto em questão é
V=x=(x1,dots,xn)inR^n:;a1x1+cdots+anxn=c
Vamos usar o critério de subespaço vetorial (não vazio, fechado em soma e em multiplicação escalar) e a definição de variedade afim (translação de um subespaço).

Passo 2

Para aplicar o critério de subespaço, recorde que precisamos verificar três coisas: (i) o vetor zero está em V, (ii) se u,vin V então u+vin V, (iii) se uin V e lambdainR então lambda uin V.

Passo 3

Suponha primeiro que c=0. Então
V=x:;acdot x=0
é exatamente o núcleo da forma linear acdot x. Logo:
  • Zero está em V pois acdot0=0.
  • Se acdot u=0 e acdot v=0 então acdot(u+v)=acdot u + acdot v=0, logo u+vin V.
  • Se acdot u=0 então acdot(lambda u)=lambda(acdot u)=0, logo lambda uin V.
    Isso mostra que, quando c=0, V é subespaço de R^n.

Passo 4

Agora suponha que cneq0. O vetor zero satisfaz
acdot0=0neq c,
então 0notin V. Como todo subespaço precisa conter o vetor zero, V não pode ser subespaço. Assim concluímos que V é subespaço de R^n se, e somente se, c=0.

Passo 5

Para ver que V é uma variedade afim, considere o subespaço
W=x:;acdot x=0
e escolha um vetor qualquer x0 tal que acdot x0=c (se existir). Então todo xin V satisfaz
acdot(x - x0)=acdot x - acdot x0=c-c=0,
logo x-x0in W e x=x0+(x-x0). Vice-versa, qualquer ponto de x0+W pertence a V. Assim
V=x0+W
o que mostra que V é a translação de um subespaço e, portanto, uma variedade afim.

Passo 6

No caso degenerado em que a=0, a equação fica 0=c. Se c=0 então V=R^n (subespaço) e se cneq0 então V=emptyset (não é subespaço nem variedade não‐vazia).

Resposta

Mostramos que V é subespaço de R^n se, e somente se, c=0. Além disso, para qualquer vetor x0 com acdot x0=c, temos
V=x0+x:acdot x=0,
o que prova que V é uma variedade afim (translação do subespaço acdot x=0).

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