Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais?
As funções
tais que
.
As funções
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
As funções
tais que
é um subespaço vetorial de
. Isso cai no tema de espaços vetoriais e subespaços, e vamos precisar usar a definição de subespaço (fechado sob soma e multiplicação por escalar e contendo o vetor zero) ou ainda reconhecer que esse conjunto é o núcleo de um operador linear.
Passo 2
Uma forma elegante é notar que podemos definir o operador linear
Logo nosso conjunto é exatamente
. Como o núcleo de um operador linear é sempre subespaço, já temos a conclusão.
Passo 3
Para ser bem didático, vamos também checar diretamente as três propriedades:
- (Zero) A função
satisfaz
portanto
pertence ao conjunto.
2. (Soma) Se e
satisfazem
e
, então
2. (Soma) Se
logo
fica no conjunto.
3. (Multiplicação por escalar) Para qualquer escalar e função
do conjunto,
3. (Multiplicação por escalar) Para qualquer escalar
então
também pertence.
Passo 4
Como todas as propriedades de subespaço estão satisfeitas, concluímos que o conjunto de soluções da equação diferencial homogênea é de fato um subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto das funções
tais que
é um subespaço vetorial de
.