Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais?
As funções f in C^infty(R) tais que f^prime prime-2 f^prime+f=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
As funções fin C^infty( R) tais que
f'' - 2f' + f = 0
é um subespaço vetorial de C^infty( R). Isso cai no tema de espaços vetoriais e subespaços, e vamos precisar usar a definição de subespaço (fechado sob soma e multiplicação por escalar e contendo o vetor zero) ou ainda reconhecer que esse conjunto é o núcleo de um operador linear.

Passo 2

Uma forma elegante é notar que podemos definir o operador linear
L: C^infty( R) to C^infty( R), L(f)=f''-2f'+f
Logo nosso conjunto é exatamente ker L. Como o núcleo de um operador linear é sempre subespaço, já temos a conclusão.

Passo 3

Para ser bem didático, vamos também checar diretamente as três propriedades:
  1. (Zero) A função f0(x)=0 satisfaz
f0'' - 2f0' + f0 = 0 - 0 + 0 = 0,
portanto f0 pertence ao conjunto.
2. (Soma) Se f e g satisfazem f''-2f'+f=0 e g''-2g'+g=0, então
(f+g)'' -2(f+g)' + (f+g) = (f''-2f'+f) + (g''-2g'+g) = 0 + 0 = 0,
logo f+g fica no conjunto.
3. (Multiplicação por escalar) Para qualquer escalar alpha e função f do conjunto,
(alpha f)'' -2(alpha f)' + (alpha f) = alpha(f''-2f'+f) = alpha cdot 0 = 0,
então alpha f também pertence.

Passo 4

Como todas as propriedades de subespaço estão satisfeitas, concluímos que o conjunto de soluções da equação diferencial homogênea é de fato um subespaço vetorial de C^infty( R).

Resposta

O conjunto das funções fin C^infty( R) tais que f''-2f'+f=0 é um subespaço vetorial de C^infty( R).

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