Q 1.2. Podemos genericamente definir uma translação
no
como uma aplicação do
no
tal que
, em que
é uma terna qualquer fixada a priori. Mostre que a soma ou a diferença de duas translações não é uma translação. Por que ?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas translações em
definidas por
a aplicação soma
e a aplicação diferença
não são translações.
Conteúdo: transformações afins (no caso, translações) e verificação de forma.
Conteúdo: transformações afins (no caso, translações) e verificação de forma.
Passo 2
Escrevemos explicitamente cada transformação:
onde
e
são vetores fixos em
.
Passo 3
Calculamos a soma ponto a ponto:
Para ser uma translação, uma aplicação
deve ter a forma
para algum vetor fixo
. Aqui, em vez de
aparecer com coeficiente
, aparece com coeficiente
.
Passo 4
Concluímos que não existe vetor
tal que
pois isso implicaria
para todo
, o que é impossível. Logo
não é translação.
Passo 5
Agora a diferença:
que é um vetor constante, independente de
.
Passo 6
Uma translação deve variar com
(sempre
algo). Aqui
é a função constante
, logo não tem a forma
. Portanto também não é translação.
Resposta
A soma de duas translações dá
, que não é da forma
.
A diferença dá , que é constante e também não se escreve como
. Portanto nem a soma nem a diferença são translações.
A diferença dá