Q 1.2. Podemos genericamente definir uma translação T no \mathbb{R}^{3} como uma aplicação do \mathbb{R}^{3} no \mathbb{R}^{3} tal que t(v)=v-a, \forall v \in \mathbb{R}^{3}, em que a é uma terna qualquer fixada a priori. Mostre que a soma ou a diferença de duas translações não é uma translação. Por que ?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas translações em \mathbb{R}^{3} definidas por
t_{1}(v)=v - a \quad\text{e}\quad t_{2}(v)=v - b,
a aplicação soma t_{1}+t_{2} e a aplicação diferença t_{1}-t_{2} não são translações.
Conteúdo: transformações afins (no caso, translações) e verificação de forma.

Passo 2

Escrevemos explicitamente cada transformação:
t_{1}(v)=v - a,\quad t_{2}(v)=v - b,
onde a e b são vetores fixos em \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Calculamos a soma ponto a ponto:
(t_{1}+t_{2})(v) = t_{1}(v) + t_{2}(v) = (v - a) + (v - b) = 2\,v - (a + b).
Para ser uma translação, uma aplicação T deve ter a forma T(v)=v - c para algum vetor fixo c. Aqui, em vez de v aparecer com coeficiente 1, aparece com coeficiente 2.

Passo 4

Concluímos que não existe vetor c tal que
2\,v - (a + b) \;=\; v - c \quad\forall v,
pois isso implicaria (2v - v) = v = (a + b)-c para todo v, o que é impossível. Logo t_{1}+t_{2} não é translação.

Passo 5

Agora a diferença:
(t_{1}-t_{2})(v) = t_{1}(v) - t_{2}(v) = (v - a) - (v - b) = b - a,
que é um vetor constante, independente de v.

Passo 6

Uma translação deve variar com v (sempre v - algo). Aqui t_{1}-t_{2} é a função constante v\mapsto b-a, logo não tem a forma v - c. Portanto também não é translação.

Resposta

A soma de duas translações dá (t_{1}+t_{2})(v)=2v-(a+b), que não é da forma v-c.
A diferença dá (t_{1}-t_{2})(v)=b-a, que é constante e também não se escreve como v-c. Portanto nem a soma nem a diferença são translações.

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