Ex. 6 - Prove que o conjunto de todas as sequências de Fibonacci é um espaço vetorial (há infinitas possíveis sequências de Fibonacci, cada uma começando com diferentes valores para f1 e f2 ).

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = l,f=(f1,f2,f3,dots)inR^Nmid fn+2=fn+1+fn forall ninNr,
ou seja, todas as sequências que satisfazem a mesma relação de recorrência dos Fibonacci mas com condições iniciais livres. Queremos mostrar que V é um espaço vetorial sobre R, isto é, que V é um subespaço de R^N (com adição e multiplicação escalar ponto a ponto).

Passo 2

Para provar que V é subespaço de R^N basta mostrar:
  1. O vetor zero pertence a V.
  2. V é fechado em adição.
  3. V é fechado em multiplicação escalar.
    Como R^N já é espaço vetorial, essas três propriedades garantem que V também o é.

Passo 3

Vetor zero: seja 0=(0,0,0,dots). Então para todo n temos
0n+2=0 = 0+0 = 0n+1+0n,
logo 0in V.

Passo 4

Fechamento em adição: sejam f,gin V. Então
(f+g)n+2 = fn+2 + gn+2 = (fn+1+fn) + (gn+1+gn) = (fn+1+gn+1) + (fn+gn) = (f+g)n+1 + (f+g)n
Logo f+gin V.

Passo 5

Fechamento em multiplicação escalar: seja fin V e alphainR. Então
(alpha f)n+2 = alpha,fn+2 = alpha,(fn+1+fn) = alpha,fn+1 + alpha,fn = (alpha f)n+1 + (alpha f)n
Logo alpha fin V.

Resposta

Como V contém o zero e é fechado sob soma e produto escalar, V é um subespaço de R^N e, portanto, é um espaço vetorial sobre R.

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