Ex. 6 - Prove que o conjunto de todas as sequências de Fibonacci é um espaço vetorial (há infinitas possíveis sequências de Fibonacci, cada uma começando com diferentes valores para
e
).
Passo 1
O enunciado define o conjunto
ou seja, todas as sequências que satisfazem a mesma relação de recorrência dos Fibonacci mas com condições iniciais livres. Queremos mostrar que
é um espaço vetorial sobre
, isto é, que
é um subespaço de
(com adição e multiplicação escalar ponto a ponto).
Passo 2
Para provar que
é subespaço de
basta mostrar:
- O vetor zero pertence a
. -
é fechado em adição. -
é fechado em multiplicação escalar.
Comojá é espaço vetorial, essas três propriedades garantem que também o é.
Passo 3
Vetor zero: seja
. Então para todo
temos
logo
.
Passo 4
Fechamento em adição: sejam
. Então
Logo
.
Passo 5
Fechamento em multiplicação escalar: seja
e
. Então
Logo
.
Resposta
Como
contém o zero e é fechado sob soma e produto escalar,
é um subespaço de
e, portanto, é um espaço vetorial sobre
.