2.6 Prove que existem infinitos números primos da forma
.
Sugestão: (i) mostre que todo primo
é da forma
ou
; (ii) mostre que o produto de dois números da forma
é da mesma forma; (iii) suponha por absurdo que
é o último primo positivo da forma
. Considere o número
, mostre que ele deveria ser também da forma
o que é absurdo.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que existem infinitos primos congruentes a 3 módulo 4. Vamos usar argumentos de teoria dos números envolvendo congruências e uma prova por absurdo inspirada na prova de Euclides para infinitude de primos.
Passo 2
Todo número primo ímpar satisfaz uma congruência módulo 4. De fato, se p≥3 é primo, então p é ímpar e pode ser escrito como p=2k+1. Se k é par, k=2m, então
ou seja p≡1\pmod{4}. Se k é ímpar, k=2m+1, então
ou seja p≡3\pmod{4}. Logo todo primo ≥3 é da forma 4n+1 ou 4n+3.
Passo 3
Mostramos agora que a classe 4n+1 é fechada sob multiplicação. Sejam
Então
que é da forma 4k+1. Isso implica que, se um número inteiro >1 tem todos os seus fatores primos ≡1\pmod{4}, então esse número também é ≡1\pmod{4}.
Passo 4
Suponha, por absurdo, que existam apenas finitamente muitos primos ≡3\pmod{4} maiores ou iguais a 7: p₁=7,p₂=11,…,p_k é o último. Defina
e considere
Logo N≡3\pmod{4}. Seja q qualquer primo divisor de N. Então q|N e q|P não podem ocorrer simultaneamente: se q|P então q|4P e assim q|N−4P=3, forçando q=3, mas 3 não está na lista de p₁,…,p_k. Logo q não divide P, o que significa que q não está na lista de primos ≡3\pmod{4} que assumimos ser exaustiva. Além disso, cada primo é ou ≡1\pmod{4} ou ≡3\pmod{4}. Se todos os divisores primos de N fossem ≡1\pmod{4}, então N seria ≡1\pmod{4} pela propriedade de fechamento mostrada no passo anterior, mas verificamos que N≡3\pmod{4}. Contradição. Logo N tem um fator primo novo q≡3\pmod{4} que não estava na lista.
Passo 5
Como chegamos a um primo ≡3\pmod{4} fora da lista finita suposta, concluímos que não pode haver um número finito de primos da forma 4n+3. Portanto, existem infinitamente muitos primos congruentes a 3 módulo 4.
Resposta
Existem infinitamente muitos números primos da forma 4n+3.