Prove que as linhas de uma matriz a são duas a duas ortogonais se, e somente se,
, onde
é uma matriz diagonal. Enuncie e prove um resultado análogo sobre a ortogonalidade das colunas de a.
Passo 1
O problema pede para mostrar que as linhas de uma matriz
são duas a duas ortogonais exatamente quando
é uma matriz diagonal. Vamos usar o fato de que cada entrada de
é o produto escalar de duas linhas de
.
Passo 2
Para matrizes
de tamanho
, o elemento na linha
e coluna
de
é
Mas esse somatório é exatamente o produto escalar entre a linha
e a linha
de
.
Passo 3
Daí segue a equivalência:
- Se todas as linhas são ortogonais duas a duas, então para
temos
ou seja,tem zeros fora da diagonal.
- Reciprocamente, seé diagonal, então para
implica que o produto escalar das linhas e é zero, logo elas são ortogonais.
Além disso, os elementos diagonais desão
mostrando que
com
.
Passo 4
O resultado análogo para colunas vem trocando
por
. Ou seja, as colunas de
são duas a duas ortogonais se e somente se
é uma matriz diagonal, cujos elementos diagonais são os quadrados das normas das colunas de
. A demonstração é idêntica, usando que
é o produto escalar da coluna
com a coluna
.
Resposta
As linhas de
são duas a duas ortogonais se, e somente se,
com
diagonal. De modo análogo, as colunas de
são duas a duas ortogonais se, e somente se,
é uma matriz diagonal.