Prove que as linhas de uma matriz a são duas a duas ortogonais se, e somente se, a a^top=d, onde d é uma matriz diagonal. Enuncie e prove um resultado análogo sobre a ortogonalidade das colunas de a.

Passo 1

O problema pede para mostrar que as linhas de uma matriz a são duas a duas ortogonais exatamente quando a,a^top é uma matriz diagonal. Vamos usar o fato de que cada entrada de a,a^top é o produto escalar de duas linhas de a.

Passo 2

Para matrizes a de tamanho mtimes n, o elemento na linha i e coluna j de a,a^top é
(a,a^top)ij = sumk=1^n aik,ajk
Mas esse somatório é exatamente o produto escalar entre a linha i e a linha j de a.

Passo 3

Daí segue a equivalência:
  • Se todas as linhas são ortogonais duas a duas, então para ineq j temos (a,a^top)ij=0,
    ou seja, a,a^top tem zeros fora da diagonal.
    - Reciprocamente, se a,a^top é diagonal, então para ineq j
    (a,a^top)ij=0implica que o produto escalar das linhas i e j é zero, logo elas são ortogonais.
    Além disso, os elementos diagonais de a,a^top são
(a,a^top)ii = sumk=1^n aik^2 = |linha i|^2,
mostrando que a,a^top=d com d=diag(|linha 1|^2,dots,|linha m|^2).

Passo 4

O resultado análogo para colunas vem trocando a por a^top. Ou seja, as colunas de a são duas a duas ortogonais se e somente se
a^topa
é uma matriz diagonal, cujos elementos diagonais são os quadrados das normas das colunas de a. A demonstração é idêntica, usando que
(a^topa)ij=sumk=1^m aki,akj
é o produto escalar da coluna i com a coluna j.

Resposta

As linhas de a são duas a duas ortogonais se, e somente se, a,a^top=d com d diagonal. De modo análogo, as colunas de a são duas a duas ortogonais se, e somente se, a^topa é uma matriz diagonal.

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