Enunciado

Seja T : V → V um operador linear invertível em um espaço com produto interno de dimensão finita. Mostre que existe um operador auto adjunto definido positivo P e um operador unitário (ortogonal) U , tal que T = P U . Esta decomposição é única chamada de decomposição polar de T .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja T : V → V um operador linear invertível em um espaço com produto interno de dimensão finita. Mostre que existe um operador auto adjunto definido positivo P e um operador unitário (ortogonal) U , tal que T = P U . Esta decomposição é única chamada de decomposição polar de T .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

T = P U , temos

P = T T * 1 2         e       U = P - 1 T

Ficando,

U = T T * 1 2 ( T T * )

I = T T * 1 2 ( T T * )

I = T T * 3 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

I = T T * 3 2

Exercícios de Livros Relacionados

Um operador T : V → V em um espaço com produto interno tal que T V = | | V | | , para todo V ∈ V é chamado operador unitário, se o espaço vetorial V é complexo e operador ortogonal se o espaço vetoria
Seja V um espaço vetorial complexo. Mostre que um operador T : V → V é normal se, e somente se, existe um polinômio p tt a lq u eT * = p ( t ) .
Seja V um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita. Seja w um subespaço de w . Mostre que a projeção ortogonal em w , P : V → V , P V = p r o j w V , é um operador auto adjunto.
Seja T : V → V um operador normal em um espaço vetorial complexo. Seja 𝕨 um subespaço de V . Mostre que(a) Se w é T-invariante, então w e também T * -invariante.(b) Se w é T-invariante, então w ⊥ tam
Mostre que um operador T é unitário (ortogonal) se, e somente se, T * existe e T * T = T T * = I .