Prove que a norma espectral, definida no Exercício 13.18, tem as propriedades
|A+B| <=|A|+|B| e |B A| <=|B||A|
Dê exemplo de um operador A: R^2 R^2 para o qual se tem |A^2|<|A|^2.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a norma espectral (ou norma operador induzida pela norma Euclideana) satisfaz a desigualdade triangular e é submultiplicativa. Vamos usar a definição
|A| = sup|x|=1 |A x|
do que decorre toda a prova.

Passo 2

Para mostrar
|A + B| <= |A| + |B|
pega num vetor arbitrário x com |x|=1. Então
|(A+B)x| <= |Ax| + |Bx| <= |A| + |B|
Como isso vale para todo x de norma 1, ao tomar supremum sobre x obtemos exatamente
|A+B| <= |A| + |B|

Passo 3

Para mostrar
|B A| <= |B|,|A|
pega de novo um x qualquer. Temos
|B(Ax)| <= |B|,|Ax| <= |B|,|A|,|x|
Como |x|=1, isso dá |BAx|<=|B|,|A|. Tomando supremum em x de norma 1, conclui-se
|BA| <= |B|,|A|

Passo 4

Um exemplo no R^2 que dá desigualdade estrita é o operador nilpotente
A=0 & 1[2pt]0 & 0
Aqui calcula-se que
A^2=0Rightarrow|A^2|=0
e, por outro lado, o maior valor singular de A é 1, logo |A|=1 e portanto
|A^2|=0<1=|A|^2
]

Resposta

Por exemplo, com
A=0 & 1[2pt]0 & 0,
temos |A|=1 e |A^2|=0<1=|A|^2.]

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