Dado o subespaço F subset E, considere as transformações lineares P: E F e J: F E, onde P é a projeção ortogonal (de núcleo F^perp ) e J v=v para todo v in F. (J chama-se a inclusão de F em E.) Determine as adjuntas P^*: F E e J^*: E F.

Passo 1

O exercício dá um espaço com produto interno E, um subespaço Fsubset E, a projeção ortogonal P: Eto F (com ker P=F^perp) e a inclusão J:Fto E, J(v)=v. A tarefa é achar os adjuntos P^*:Fto E e J^*:Eto F. Vamos usar a definição de adjunto: para T:Uto V, T^*:Vto U satisfaz

Passo 2

Para encontrar P^*, considere vetores xin E e yin F. Como o produto interno em F é o mesmo de E restrito, temos
lang<= P(x),yrang<=F=lang<= P(x),yrang<=E
Mas P é auto‐adjunta em E, logo
lang<= P(x),yrang<=E=lang<= x,P(y)rang<=E
Como yin F, P(y)=y. Portanto
lang<= P(x),yrang<=F=lang<= x,yrang<=E=lang<= x,J(y)rang<=E
Isso mostra que P^*(y)=J(y), ou seja P^*=J.

Passo 3

Para encontrar J^*, considere vin F e xin E. Temos
lang<= J(v),xrang<=E=lang<= v,xrang<=E
Escrevendo x=P(x)+(x-P(x)) com x-P(x)in F^perp, o termo lang<= v,x-P(x)rang<=E=0. Assim
lang<= v,xrang<=E=lang<= v,P(x)rang<=E=lang<= v,P(x)rang<=F,
mostrando que J^*(x)=P(x). Logo J^*=P.

Resposta

P^*=J e J^*=P

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