Dado o subespaço
, considere as transformações lineares
, onde
é a projeção ortogonal (de núcleo
) e
para todo
. (J chama-se a inclusão de F em E.) Determine as adjuntas
e
.
Passo 1
O exercício dá um espaço com produto interno
, um subespaço
, a projeção ortogonal
(com
) e a inclusão
,
. A tarefa é achar os adjuntos
e
. Vamos usar a definição de adjunto: para
,
satisfaz
Passo 2
Para encontrar
, considere vetores
e
. Como o produto interno em
é o mesmo de
restrito, temos
Mas
é auto‐adjunta em
, logo
Como
,
. Portanto
Isso mostra que
, ou seja
.
Passo 3
Para encontrar
, considere
e
. Temos
Escrevendo
com
, o termo
. Assim
mostrando que
. Logo
.