Resolva em C as seguintes equações
(f) z^4=3+4 i

Passo 1

O problema é encontrar todas as soluções em C da equação z^4=3+4i. O conteúdo principal aqui é extrair raízes de ordem quatro de um número complexo, e vamos precisar passar o número dado para a forma polar e depois aplicar a fórmula das raízes de unidade generalizadas.

Passo 2

Primeiro convertemos 3+4i para a forma polar. O módulo é
r = |3+4i| = raiz3^2+4^2 = 5
O argumento theta satisfaz
theta = arg(3+4i) = arctanl(tfrac43r)

Passo 3

A fórmula geral para as quatro raízes de 3+4i é
zk = r^1/4expl(i,theta+2pi k4r) =5^1/4l[cosl(theta+2pi k4r)+isinl(theta+2pi k4r)r],
para k=0,1,2,3 e theta=arctan(4/3).

Passo 4

Agora exibimos explicitamente as quatro raízes, tomando theta=arctan(4/3)::
zk = 5^1/4l[cosl(tfracarctan(4/3)+2pi k4r)+isinl(tfracarctan(4/3)+2pi k4r)r],
com k=0,1,2,3, o que dá as quatro soluções distintas.

Resposta

As soluções são
zk = 5^1/4l[cosl(tfracarctan(4/3)+2pi k4r)+isinl(tfracarctan(4/3)+2pi k4r)r], k=0,1,2,3

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