Seja
o conjunto de todos os inteiros com a adição definida na forma usual e defina-se a multiplicação por escalar, denotada
, por
em que
denota o maior inteiro menor ou igual a
. Por exemplo,
Mostre que
, com estas operações, não é um espaço vetorial. Que axiomas não são válidos?
Passo 1
O enunciado define em
(o grupo abeliano dos inteiros com a adição usual) uma “multiplicação por escalar”
onde
,
e
é o piso de
. Queremos mostrar que, com essa operação,
não satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Verificamos primeiro que alguns axiomas até valem:
- Fechamento e associatividade da soma em
, e existência de e inversos, continuam válidos porque a adição é a usual em . - Axioma
:
- Axioma
:
Passo 3
Agora testamos o axioma de distributividade em relação à soma de escalares, que exige
À esquerda temos
à direita
Em geral
.
Por exemplo, para e
:
Por exemplo, para
Logo esse axioma falha.
Passo 4
Testamos também a associatividade dos escalares, que exige
O lado esquerdo é
enquanto o direito é
Em geral
.
Por exemplo, para e
:
Por exemplo, para
Isso mostra falha desse axioma também.
Resposta
- a distributividade em relação à soma de escalares
e - a associatividade de escalares
.