Seja Z o conjunto de todos os inteiros com a adição definida na forma usual e defina-se a multiplicação por escalar, denotada circ, por
alpha circ k=llbracket alpha rrbracket cdot k para todo k in Z
em que llbracket alpha rrbracket denota o maior inteiro menor ou igual a alpha. Por exemplo,
2,25 circ 4=llbracket 2,25 rrbracket cdot 4=2 cdot 4=8
Mostre que Z, com estas operações, não é um espaço vetorial. Que axiomas não são válidos?

Passo 1

O enunciado define em Z (o grupo abeliano dos inteiros com a adição usual) uma “multiplicação por escalar”
alphacirc k=llbracket alpharrbracketcdot k,
onde alphainR, kin Z e llbracket alpharrbracket é o piso de alpha. Queremos mostrar que, com essa operação, Z não satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Verificamos primeiro que alguns axiomas até valem:
  • Fechamento e associatividade da soma em Z, e existência de 0 e inversos, continuam válidos porque a adição é a usual em Z.
  • Axioma 1circ k=k:
1circ k=llbracket1rrbracket,k=1cdot k=k
  • Axioma alphacirc (k1+k2)=alphacirc k1+alphacirc k2:
alphacirc(k1+k2)=llbracketalpharrbracket,(k1+k2) =llbracketalpharrbracket k1+llbracketalpharrbracket k2 =alphacirc k1+alphacirc k2

Passo 3

Agora testamos o axioma de distributividade em relação à soma de escalares, que exige
(alpha+beta)circ k=alphacirc k+betacirc k
À esquerda temos
(alpha+beta)circ k=llbracketalpha+betarrbracket,k,
à direita
alphacirc k+betacirc k =l(llbracketalpharrbracket+llbracketbetarrbracketr)k
Em geral
llbracketalpha+betarrbracketneqllbracketalpharrbracket+llbracketbetarrbracket.
Por exemplo, para alpha=beta=0,6 e k=1:
llbracket1,2rrbracketcdot1=1neq0+0=0
Logo esse axioma falha.

Passo 4

Testamos também a associatividade dos escalares, que exige
alphacirc(betacirc k)=(alphabeta)circ k
O lado esquerdo é
alphacirc(betacirc k) =alphacircl(llbracketbetarrbracket kr) =llbracketalpharrbracket;l(llbracketbetarrbracket kr) =l(llbracketalpharrbracket;llbracketbetarrbracketr)k,
enquanto o direito é
(alphabeta)circ k =llbracketalphabetarrbracket,k
Em geral
llbracketalpharrbracket;llbracketbetarrbracketneqllbracketalphabetarrbracket.
Por exemplo, para alpha=beta=1,5 e k=1:
llbracket1,5rrbracket;llbracket1,5rrbracketcdot1 =1cdot1=1neq2=llbracket2,25rrbracketcdot1
Isso mostra falha desse axioma também.

Resposta

Z não é espaço vetorial porque falham
  1. a distributividade em relação à soma de escalares (alpha+beta)circ k=alphacirc k+betacirc k e
  2. a associatividade de escalares alphacirc(betacirc k)=(alphabeta)circ k.

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