Seja R^+o conjunto de todos os números reais positivos. Defina-se a multiplicação por escalar, denotada circ, por
alpha circ x=x^alpha
para todo x in R^+e todo número real alpha. Defina-se a operação de adição, denotada oplus, por
x oplus y=x cdot y para todo x, y in R^+
Portanto, para esse sistema, o produto escalar de -3 por 12 é dado por
-3 circ 12=(12)^-3=8
e a soma de 2 e 5 é dada por
2 oplus 5=2 cdot 5=10
R^-é um espaço vetorial com estas operações? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define o conjunto V=R^+ (números reais estritamente positivos) com as operações
xoplus y = xcdot y,
alphacirc x = x^alpha,
onde alphainR e x,yinR^+. Queremos verificar se (V,oplus,circ) satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo R. Para isso, precisamos mostrar que
  1. (V,oplus) é um grupo abeliano, e
  2. a multiplicação por escalar circ satisfaz as quatro propriedades de compatibilidade com oplus e com a adição e multiplicação de escalares.

Passo 2

Verificação de que (V,oplus) é um grupo abeliano:
— Fechamento: se x,yinR^+, então xoplus y = xcdot y>0, logo está em R^+.
— Associatividade: (xoplus y)oplus z = (xcdot y)cdot z = xcdot(ycdot z) = xoplus(yoplus z).
— Comutatividade: xoplus y = xcdot y = ycdot x = yoplus x.
— Elemento neutro: existe einR^+ tal que eoplus x = x; basta e=1, pois 1cdot x = x.
— Inverso aditivo: para cada xinR^+ existe x^-1inR^+ tal que xoplus x^-1 = xcdot x^-1 = 1.
Portanto (V,oplus) é de fato um grupo abeliano com identidade 1.

Passo 3

Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
alphacirc(xoplus y) = (xcdot y)^alpha = x^alphacdot y^alpha = (alphacirc x)oplus(alphacirc y)

Passo 4

Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
(alpha+beta)circ x = x^alpha+beta = x^alphacdot x^beta = (alphacirc x)oplus(betacirc x)

Passo 5

Compatibilidade da multiplicação de escalares:
alphacirc(betacirc x) = alphacircl(x^betar) = (x^beta)^alpha = x^alphabeta = (alphabeta)circ x

Passo 6

Ação do escalar unitário:
1circ x = x^1 = x,
ou seja, o escalar 1 age como identidade.

Resposta

Sim. Com as operações xoplus y = xcdot y e alphacirc x = x^alpha, o conjunto R^+ satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

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