Seja
o conjunto de todos os números reais positivos. Defina-se a multiplicação por escalar, denotada
, por
para todo
e todo número real
. Defina-se a operação de adição, denotada
, por
Portanto, para esse sistema, o produto escalar de -3 por
é dado por
e a soma de 2 e 5 é dada por
é um espaço vetorial com estas operações? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
(números reais estritamente positivos) com as operações
onde
e
. Queremos verificar se
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
. Para isso, precisamos mostrar que
-
é um grupo abeliano, e - a multiplicação por escalar
satisfaz as quatro propriedades de compatibilidade com e com a adição e multiplicação de escalares.
Passo 2
Verificação de que
é um grupo abeliano:
— Fechamento: se , então
, logo está em
.
— Associatividade: .
— Comutatividade: .
— Elemento neutro: existe tal que
; basta
, pois
.
— Inverso aditivo: para cada existe
tal que
.
— Fechamento: se
— Associatividade:
— Comutatividade:
— Elemento neutro: existe
— Inverso aditivo: para cada
Portanto
é de fato um grupo abeliano com identidade
.
Passo 3
Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
Passo 4
Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
Passo 5
Compatibilidade da multiplicação de escalares:
Passo 6
Ação do escalar unitário:
ou seja, o escalar
age como identidade.
Resposta
Sim. Com as operações
e
, o conjunto
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.