Seja E um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno. Se Ao: F E é uma transformação linear ortogonal definida num subespaço vetorial F subset E, prove que existe um operador ortogonal A: E E tal que A cdot v=Ao cdot v para todo v in F.

Passo 1

Nesse exercício temos um espaço vetorial finito D with produto interno e um subespaço F⊂E. A transformação linear Aₒ: F→E é ortogonal, ou seja, preserva o produto interno em F. O objetivo é estender Aₒ a um operador A: E→E que também seja ortogonal e tal que A(v)=Aₒ(v) para todo v∈F.

Passo 2

Como Aₒ é ortogonal, vale para todos u,v∈F: = . Isso mostra que a imagem U = Aₒ(F) é um subespaço de E com dim U = dim F e que Aₒ: F→U é um isomorfismo isométrico.

Passo 3

Em espaços com produto interno temos as decomposições ortogonais E = F⊕F^⊥ e E = U⊕U^⊥. Como dim F = dim U, segue que dim F^⊥ = dim U^⊥.

Passo 4

Escolhemos uma base ortonormal f1,dots,fk de F e a estendemos para uma base ortonormal de E, adicionando vetores ek+1,dots,en de F^⊥. Assim f1,dots,fk,ek+1,dots,en é base ortonormal de E.

Passo 5

De maneira análoga, como Aₒ(f1),dots,Aₒ(fk) é base ortonormal de U, estendemos com gk+1,dots,gn de U^⊥ para obter a base ortonormal Aₒ(f1),dots,Aₒ(fk),gk+1,dots,gn de E.

Passo 6

Definimos A sobre essa base por
A(fi)=Aₒ(fi), i=1,dots,k,
A(ej)=gj, j=k+1,dots,n
Por linearidade isso define A em todo E.

Passo 7

Como A leva uma base ortonormal de E em outra base ortonormal de E, A preserva produto interno e é bijetora. Logo A é um operador ortogonal. Além disso, se v∈F então v=∑α_i f_i e
A(v)=sum αi A(fi)=sum αi Aₒ(fi)=Aₒ(v),
mostrando que A estende Aₒ conforme desejado.

Resposta

O operador A definido em bases ortonormais de E, mapeando f_i→Aₒ(f_i) e e_j→g_j, é ortogonal e satisfaz A(v)=Aₒ(v) para todo v∈F, logo existe tal extensão ortogonal de Aₒ.

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