Seja
um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno. Se
é uma transformação linear ortogonal definida num subespaço vetorial
, prove que existe um operador ortogonal
tal que
para todo
.
Passo 1
Nesse exercício temos um espaço vetorial finito D with produto interno e um subespaço F⊂E. A transformação linear Aₒ: F→E é ortogonal, ou seja, preserva o produto interno em F. O objetivo é estender Aₒ a um operador A: E→E que também seja ortogonal e tal que A(v)=Aₒ(v) para todo v∈F.
Passo 2
Como Aₒ é ortogonal, vale para todos u,v∈F:
. Isso mostra que a imagem U = Aₒ(F) é um subespaço de E com dim U = dim F e que Aₒ: F→U é um isomorfismo isométrico.
Passo 3
Em espaços com produto interno temos as decomposições ortogonais E = F⊕F^⊥ e E = U⊕U^⊥. Como dim F = dim U, segue que dim F^⊥ = dim U^⊥.
Passo 4
Escolhemos uma base ortonormal
de F e a estendemos para uma base ortonormal de E, adicionando vetores
de F^⊥. Assim
é base ortonormal de E.
Passo 5
De maneira análoga, como
é base ortonormal de U, estendemos com
de U^⊥ para obter a base ortonormal
de E.
Passo 6
Definimos A sobre essa base por
Por linearidade isso define A em todo E.
Passo 7
Como A leva uma base ortonormal de E em outra base ortonormal de E, A preserva produto interno e é bijetora. Logo A é um operador ortogonal. Além disso, se v∈F então v=∑α_i f_i e
mostrando que A estende Aₒ conforme desejado.
Resposta
O operador A definido em bases ortonormais de E, mapeando f_i→Aₒ(f_i) e e_j→g_j, é ortogonal e satisfaz A(v)=Aₒ(v) para todo v∈F, logo existe tal extensão ortogonal de Aₒ.