Seja
um operador linear que transforma vetores unitários em vetores unitários. Prove que
é ortogonal. Deduza daí que se
é um operador linear invertível que transforma dois quaisquer vetores de mesmo comprimento em vetores de mesmo comprimento então
é uma semelhança.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um operador linear A: E→E que envia todo vetor unitário em outro vetor unitário. O objetivo é mostrar que A é ortogonal (preserva produto interno) e, em seguida, deduzir que se S: E→E é linear invertível e transforma quaisquer vetores de mesmo comprimento em vetores de mesmo comprimento, então S é semelhança.
Passo 2
Mostramos que A preserva norma de qualquer vetor. Se x=0 não há o que provar. Se x≠0, escrevemos x=|x|u com u unitário. Pela linearidade de A vem
Passo 3
Como A preserva norma de todo vetor, ela é isometria. Daí usamos a identidade de polarização no espaço real: para quaisquer x,y,
Então
Logo A preserva o produto interno e, por definição, é ortogonal.
Passo 4
Para a segunda parte, seja S invertível e suponha que sempre que |x|=|y| temos |Sx|=|Sy|. Em especial, para quaisquer vetores unitários u,v vale |Su|=|Sv|. Isso significa que existe c>0 tal que para todo vetor unitário u temos |Su|=c. Definimos então
Por construção A é linear e manda vetores unitários em vetores unitários.
Passo 5
Pelo resultado da primeira parte, A é ortogonal. Como S=cA, ou seja, uma homotetia de razão c seguida de um operador ortogonal, concluímos que S é uma semelhança.
Resposta
A é ortogonal. Além disso, qualquer operador linear invertível S que preserve comprimentos (|x|=|y|⇒|Sx|=|Sy|) pode ser escrito como S=cA, com c>0 e A ortogonal, logo S é semelhança.