Seja A uma matriz m × n e seja “.” uma norma matricial que é compatível com alguma norma vetorial em “. Mostre que se λ é um autovalor de A, então |λ| ≤”.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada (digamos de ordem
) e que
é uma norma matricial induzida, ou seja, compatível com alguma norma vetorial
em
.
O que precisamos mostrar é que, se é um autovalor de
, então
O que precisamos mostrar é que, se
Para isso, vamos usar a definição de norma induzida e a propriedade básica de autovalores e autovetores.
Passo 2
Se
é autovalor de
, existe um autovetor
tal que
Como a norma matricial é induzida pela norma vetorial, vale a desigualdade
Substituindo
, obtemos
Como
, podemos dividir ambos os lados por
e chegar a