Seja A uma matriz m × n e seja “.” uma norma matricial que é compatível com alguma norma vetorial em “. Mostre que se λ é um autovalor de A, então |λ| ≤”.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada (digamos de ordem n) e que |cdot| é uma norma matricial induzida, ou seja, compatível com alguma norma vetorial |cdot| em R^n.
O que precisamos mostrar é que, se lambda é um autovalor de A, então
|lambda| ;<=;|A|
Para isso, vamos usar a definição de norma induzida e a propriedade básica de autovalores e autovetores.

Passo 2

Se lambda é autovalor de A, existe um autovetor xneq0 tal que
A x = lambda,x
Como a norma matricial é induzida pela norma vetorial, vale a desigualdade
|A x|;<=;|A|;|x|
Substituindo A x = lambda x, obtemos
|lambda,x| ;=;|lambda|,|x| ;<=;|A|,|x|
Como |x|>0, podemos dividir ambos os lados por |x| e chegar a
|lambda|;<=;|A|

Resposta

|lambda|;<=;|A|

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