usando a definição de L e também as matrizes obtidas em (a) e (b).
Passo 1
O enunciado define a transformação linear L\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 por
L\bigl([x,y,z]^T\bigr) = [\,x+y,\;y-z\,]^T
e pede três coisas:
(a) a matriz de L nas bases canônicas S de \mathbb{R}^3 e T de \mathbb{R}^2,
(b) a matriz de L nas bases S' de \mathbb{R}^3 e T' de \mathbb{R}^2,
(c) o vetor L([1,2,3]^T) calculado diretamente e também usando as matrizes de (a) e (b).
Passo 2
Queremos [L]_{T,S}. Basta aplicar L aos vetores da base canônica \mathbf e_1=[1,0,0]^T, \mathbf e_2=[0,1,0]^T, \mathbf e_3=[0,0,1]^T:
onde \;P é a matriz cujas colunas são os vetores de S' escritos na base canônica, e \;Q é a matriz cujas colunas são os vetores de T' na base canônica.
Escrevendo
Ainda em (c), pelo método da base S'\to T':
(1) expressamos [1,2,3]^T em coordenadas de S' resolvendo \,P\,c = [1,2,3]^T, que dá c=[4,-5,3]^T.
(2) aplicamos [L]_{T',S'} a c:
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Bernard K e David R - Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações (Vol 1) - 8ª Edição - Capítulo 10.3. Exercícios - Ex. 5