Seja L: R^{3} \rightarrow R^{2} definida por
L\left(\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} x+y \\\ y-z \end{array}\right]
Sejam S e T as bases canônicas para R^{3} e R^{2}, respectivamente. Além disso, sejam
e
S^{\prime}=\left\{\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right]\right\}
e
T^{\prime}=\left\{\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\}
duas bases para R^{3} e R^{2}, respectivamente. Encontre a matriz que representa L em relação a
(a) S e T
(b) S^{\prime} e T^{\prime}
(c) Calcule
L\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right]\right)
usando a definição de L e também as matrizes obtidas em (a) e (b).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear L\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 por
L\bigl([x,y,z]^T\bigr) = [\,x+y,\;y-z\,]^T
e pede três coisas:
(a) a matriz de L nas bases canônicas S de \mathbb{R}^3 e T de \mathbb{R}^2,
(b) a matriz de L nas bases S' de \mathbb{R}^3 e T' de \mathbb{R}^2,
(c) o vetor L([1,2,3]^T) calculado diretamente e também usando as matrizes de (a) e (b).

Passo 2

Queremos [L]_{T,S}. Basta aplicar L aos vetores da base canônica \mathbf e_1=[1,0,0]^T, \mathbf e_2=[0,1,0]^T, \mathbf e_3=[0,0,1]^T:
L(\mathbf e_1) = [1+0,\,0-0]^T = [1,0]^T,\quad L(\mathbf e_2) = [0+1,\,1-0]^T = [1,1]^T,\quad L(\mathbf e_3) = [0+0,\,0-1]^T = [0,-1]^T.
Portanto
[L]_{T,S} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter [L]_{T',S'} usamos a fórmula
[L]_{T',S'} = Q^{-1}\,[L]_{T,S}\,P,
onde \;P é a matriz cujas colunas são os vetores de S' escritos na base canônica, e \;Q é a matriz cujas colunas são os vetores de T' na base canônica.
Escrevendo
S'=\{v_1=[1,1,0]^T,\;v_2=[0,1,0]^T,\;v_3=[-1,1,1]^T\},\quad T'=\{u_1=[-1,1]^T,\;u_2=[1,2]^T\},
temos
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad Q = \begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
O determinante de Q é -3, logo
Q^{-1} = \frac1{-3}\begin{pmatrix}2 & -1\\\ -1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt]\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculemos primeiro [L]_{T,S}\,P:
[L]_{T,S}\,P = \begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0&-1\\\ 1&1&1\\\ 0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1&0\\\ 1&1&0\end{pmatrix}.
Então
[L]_{T',S'} = Q^{-1}\,( [L]_{T,S}\,P ) = \begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}&\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}&\tfrac{1}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&1&0\\\ 1&1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -\tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 1 & \tfrac{2}{3} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Parte (c): pelo método direto, para [1,2,3]^T temos
L([1,2,3]^T) = [\,1+2,\;2-3\,]^T = [3,\,-1]^T.
Usando a matriz de (a),
\begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix},
coincide com o resultado direto.

Passo 6

Ainda em (c), pelo método da base S'\to T':
(1) expressamos [1,2,3]^T em coordenadas de S' resolvendo \,P\,c = [1,2,3]^T, que dá c=[4,-5,3]^T.
(2) aplicamos [L]_{T',S'} a c:
\begin{pmatrix} -1 & -\tfrac{1}{3} & 0\\\\ 1 & \tfrac{2}{3} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\\ -5\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{7}{3}\\[3pt]\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}.
(3) voltamos à base canônica com Q:
Q\begin{pmatrix}-\tfrac{7}{3}\\[2pt]\tfrac{2}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix}.
Confirma-se o mesmo vetor.]

Resposta

(a)
[L]_{T,S} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
(b)
[L]_{T',S'} = \begin{pmatrix} -1 & -\tfrac{1}{3} & 0\\\\ 1 & \tfrac{2}{3} & 0 \end{pmatrix}.
(c)
L\bigl([1,2,3]^T\bigr) = \begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix}.

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