Seja A: E E um operador diagonalizável. Se o subespaço F1 subset E é invariante por A, prove que existe um subespaço F2 subset E, também invariante por A, tal que E=F1 oplus F2.

Passo 1

Temos um operador linear diagonalizável A: E → E e um subespaço F₁ ⊂ E que é invariante por A. O objetivo é encontrar outro subespaço F₂ ⊂ E, também invariante por A, tal que E = F₁ ⊕ F₂. Vamos usar a propriedade de diagonalização e decomposição em autoespaços para construir esse F₂.

Passo 2

Como A é diagonalizável, existe uma base de E formada por auto
vetores de A. Isso implica que E se decompõe como soma direta (em bloco) dos autoespaços de A:
E = opluslambdain sigma(A) Elambda,
onde Elambda = ker(A - lambda I) é o autoespaço associado ao autovalor lambda. Cada Elambda é invariante por A.

Passo 3

Como F₁ é invariante, seu encontro com cada autoespaço também é subespaço invariante:
F1 cap Elambda subset Elambda
Em cada Elambda, podemos escolher um complemento linear qualquer Clambda tal que
Elambda = (F1 cap Elambda) oplus Clambda
Esse complemento existe pois F1 cap Elambda é subespaço de Elambda.

Passo 4

Definimos então
F2 = opluslambdain sigma(A) Clambda
Como cada Clambda está contido em Elambda, é invariante por A. Logo F₂ é soma direta de espaços invariantes, portanto invariante. Além disso,
E = opluslambda Elambda = opluslambda l[(F1 cap Elambda) oplus Clambdar] = F1 oplus F2
Isso mostra que E se decompõe como soma direta de F₁ e F₂, com F₂ invariante.

Passo 5

Portanto existe um subespaço complementar F₂ invariante tal que E = F₁ ⊕ F₂.

Resposta

Basta tomar em cada autoespaço Elambda um complemento Clambda de F1cap Elambda e definir
F2=opluslambdainsigma(A)Clambda,
que é invariante por A e satisfaz E=F1oplus F2.

Exercícios de Livros Relacionados