Seja
um operador diagonalizável. Se o subespaço
é invariante por
, prove que existe um subespaço
, também invariante por
, tal que
.
Passo 1
Temos um operador linear diagonalizável A: E → E e um subespaço F₁ ⊂ E que é invariante por A. O objetivo é encontrar outro subespaço F₂ ⊂ E, também invariante por A, tal que E = F₁ ⊕ F₂. Vamos usar a propriedade de diagonalização e decomposição em autoespaços para construir esse F₂.
Passo 2
Como A é diagonalizável, existe uma base de E formada por auto
vetores de A. Isso implica que E se decompõe como soma direta (em bloco) dos autoespaços de A:
vetores de A. Isso implica que E se decompõe como soma direta (em bloco) dos autoespaços de A:
onde
é o autoespaço associado ao autovalor
. Cada
é invariante por A.
Passo 3
Como F₁ é invariante, seu encontro com cada autoespaço também é subespaço invariante:
Em cada
, podemos escolher um complemento linear qualquer
tal que
Esse complemento existe pois
é subespaço de
.
Passo 4
Definimos então
Como cada
está contido em
, é invariante por A. Logo F₂ é soma direta de espaços invariantes, portanto invariante. Além disso,
Isso mostra que E se decompõe como soma direta de F₁ e F₂, com F₂ invariante.
Passo 5
Portanto existe um subespaço complementar F₂ invariante tal que E = F₁ ⊕ F₂.
Resposta
Basta tomar em cada autoespaço
um complemento
de
e definir
que é invariante por A e satisfaz
.