Seja A: E E auto-adjunto. Para todo k in N ímpar, mostre que existe um único operador auto-adjunto X: E E tal que X^k=A. Se k é par, existe X auto-adjunto com X^k=A se, e somente se, A >= 0. Neste caso, X pode ser escolhido >= 0 e então é único.

Passo 1

O enunciado pede para achar, dado um operador auto-adjunto A:Eto E e um inteiro k>=1, um operador auto-adjunto X tal que X^k=A, distinguindo os casos k ímpar e k par. Vamos usar o teorema espectral para auto-adjuntos e o cálculo funcional.

Passo 2

Pelo teorema espectral, existe uma base ortonormal (ei)iin I de E em que A atua diagonalmente: para cada i, $ A ei = ai ei, aiin Ra_i\in\mathbb R$.

Passo 3

Caso k ímpar: para cada i, defini-se xi como a única raiz real de ordem k de ai. Como k é ímpar, toda aiin R tem exatamente uma raiz real xi. Definimos X por
X ei = xi ei
Então X é auto-adjunto (age diagonalmente na base ortonormal) e
$ X^k ei = xi^k ei = ai ei, X^k=AX^k=A$. A unicidade vem do fato de cada raiz real ímpar ser única.

Passo 4

Caso k par: para cada i existe raiz real de ordem k de ai se e só se ai>=0. Logo existe X auto-adjunto com X^k=A se, e somente se, todos ai>=0, isto é, A>=0.

Passo 5

Se A>=0, tomamos em cada autovetor ei a raiz não-negativa xi= ai^1/k. Definindo X ei=xi ei, obtemos X>=0, X auto-adjunto e X^k=A. A unicidade segue da escolha da raiz não-negativa em cada autovalor.

Resposta

Para k ímpar, existe um único X auto-adjunto dado por funcional-calculus, com cada autovalor de X sendo a raiz real ímpar do autovalor correspondente de A. Para k par, existe X auto-adjunto tal que X^k=A se, e somente se, A>=0; nesse caso, escolhe-se em cada autovetor a raiz não-negativa do autovalor de A, dando X>=0 único.

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