Seja
auto-adjunto. Para todo
ímpar, mostre que existe um único operador auto-adjunto
tal que
. Se k é par, existe
auto-adjunto com
se, e somente se,
. Neste caso,
pode ser escolhido
e então é único.
Passo 1
O enunciado pede para achar, dado um operador auto-adjunto
e um inteiro
, um operador auto-adjunto
tal que
, distinguindo os casos
ímpar e
par. Vamos usar o teorema espectral para auto-adjuntos e o cálculo funcional.
Passo 2
Pelo teorema espectral, existe uma base ortonormal
de
em que
atua diagonalmente: para cada
, $
a_i\in\mathbb R$.
Passo 3
Caso
ímpar: para cada
, defini-se
como a única raiz real de ordem
de
. Como
é ímpar, toda
tem exatamente uma raiz real
. Definimos
por
Então
é auto-adjunto (age diagonalmente na base ortonormal) e
$
X^k=A$. A unicidade vem do fato de cada raiz real ímpar ser única.
Passo 4
Caso
par: para cada
existe raiz real de ordem
de
se e só se
. Logo existe
auto-adjunto com
se, e somente se, todos
, isto é,
.
Passo 5
Se
, tomamos em cada autovetor
a raiz não-negativa
. Definindo
, obtemos
,
auto-adjunto e
. A unicidade segue da escolha da raiz não-negativa em cada autovalor.
Resposta
Para
ímpar, existe um único
auto-adjunto dado por funcional-calculus, com cada autovalor de
sendo a raiz real ímpar do autovalor correspondente de
. Para
par, existe
auto-adjunto tal que
se, e somente se,
; nesse caso, escolhe-se em cada autovetor a raiz não-negativa do autovalor de
, dando
único.