Dê os seguintes exemplos:
Uma matriz cujas linhas (e colunas) são duas a duas ortogonais mas as normas das linhas são diferentes.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz cujas linhas e colunas formem vetores duas a duas ortogonais, mas com normas diferentes. O conteúdo aqui é ortogonalidade em , matemática de vetores, ou seja, produto interno zero entre vetores diferentes, e cálculo de norma via produto interno.

Passo 2

Para ter linhas e colunas ortogonais basta escolher vetores canônicos que se cruzem em zero (por exemplo, vetores com suporte em eixos diferentes). Para garantir normas distintas, basta escolher comprimentos diferentes para esses vetores.

Passo 3

Uma forma simples é usar uma matriz diagonal com entradas diferentes. As linhas (e colunas) são múltiplos dos vetores canônicos e1 e e2, garantindo ortogonalidade, e como os múltiplos são diferentes, as normas também serão diferentes.

Resposta

Uma matriz que satisfaz as condições é
2 & 0 0 & 3
Nela as linhas são (2,0) e (0,3), ortogonais entre si, com normas | (2,0) | = 2 e | (0,3) | = 3. O mesmo vale para as colunas.