Seja v=(a, b, c) um vetor unitário diferente de pm e3. Mostre que existe x tal que a matriz abaixo é ortogonal:
[ccc a & b & c b x & -a x & 0 a c x & b c x & -1 / x ]

Passo 1

Vamos mostrar que as linhas da matriz formam um conjunto ortonormal, o que garante que a matriz é ortogonal. O conteúdo é extensão de um vetor unitário a uma base ortonormal (Gram-Schmidt). Vamos precisar usar produto escalar e norma de vetores.

Passo 2

Denotemos as linhas por
r1=(a,b,c),
r2=(b x,-a x,0)
Calculamos o produto escalar
r1cdot r2 = acdot(bx)+bcdot(-ax)+ccdot0 = abx - abx = 0,
logo são ortogonais para todo x. Agora exigimos que r2 seja unitário:
|r2| = raiz(bx)^2+(-ax)^2 = xraiza^2+b^2 = 1

Passo 3

Da condição xraiza^2+b^2=1 obtemos
x^2(a^2+b^2)=1
e portanto
x=pm1raiza^2+b^2
Como vneqpm e3, temos a^2+b^2neq0, então x existe.

Passo 4

Agora definimos
r3=(acx,,bcx,,-1/x)
e verificamos as demais condições. Primeiro,
r1cdot r3 = a(acx)+b(bcx)+c(-1/x) = cl(x(a^2+b^2)-1/xr)=0
justamente porque x^2(a^2+b^2)=1. Em seguida,
r2cdot r3 = bxcdot(acx) + (-ax)cdot(bcx) + 0cdot(-1/x) = x^2 c(ab - ab) = 0

Passo 5

Por fim, checamos a norma de r3:
|r3|^2 = (acx)^2+(bcx)^2+(-1/x)^2 = c^2x^2(a^2+b^2) + 1/x^2 = c^2 + (a^2+b^2) = 1
já que a^2+b^2+c^2=1. Assim, r1,r2,r3 formam uma base ortonormal e a matriz é ortogonal.

Passo 6

Portanto, tomando
x=1raiza^2+b^2,
a matriz dada é ortogonal.

Resposta

x = 1/\sqrt{a2+b2}

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