Seja um vetor unitário diferente de . Mostre que existe tal que a matriz abaixo é ortogonal:
Passo 1
Vamos mostrar que as linhas da matriz formam um conjunto ortonormal, o que garante que a matriz é ortogonal. O conteúdo é extensão de um vetor unitário a uma base ortonormal (Gram-Schmidt). Vamos precisar usar produto escalar e norma de vetores.
já que a^2+b^2+c^2=1. Assim, r1,r2,r3 formam uma base ortonormal e a matriz é ortogonal.
Passo 6
Portanto, tomando
x=1raiza^2+b^2,
a matriz dada é ortogonal.
Resposta
x = 1/\sqrt{a2+b2}
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - Elon Lages Lima - Algebra Linearª Edição - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 14.23