Sejam
y=[llll y1 & y2 & cdots & ym ] e A=[cccc a11 & a12 & cdots & a1 n a21 & a22 & cdots & a2 n vdots & vdots & & vdots am 1 & am 2 & cdots & am n ]
Mostre que o produto y A pode ser expressso como uma combinação linear das matrizes-linha de A com coeficientes escalares vindo de y.

Passo 1

O enunciado nos dá um vetor-linha
y=[y1;y2;cdots;ym]
e uma matriz AinR^mtimes n cujas linhas são vetores-linha de n entradas.
Queremos mostrar que o produto yA é uma combinação linear dessas linhas de A, com coeficientes vindos de y.

Passo 2

Para cada iin1,dots,m, denotemos por ai: o i-ésimo vetor-linha de A, ou seja,
ai: = [,ai1;ai2;cdots;ai n,]

Passo 3

Pela definição de multiplicação de vetor-linha por matriz, o produto yA é um vetor-linha em R^n cujo k-ésimo componente é
(yA)k ;=;sumi=1^m yi,ai k

Passo 4

Considere agora a combinação linear das linhas de A com pesos yi:
sumi=1^m yi,ai:
O k-ésimo componente desse vetor é
l(sumi=1^m yi,ai:r)k =sumi=1^m yi,ai k

Passo 5

Como ambos vetores têm as mesmas componentes para cada k, concluímos que
yA =sumi=1^m yi,ai:

Resposta

boxedyA ;=;sumi=1^m yi,ai:

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